Enunciado

Seja x 0 , y 0 um ponto crítico de f ( x ,   y ) e suponha que f seja de classe C 2 na bola aberta B de centro x 0 , y 0 . Prove que todo ( x ,   y ) em B , existe x ,     - y - interno ao segmento de extremidades x 0 , y 0   e ( x ,   y ) tal que.

f x , y -   f x 0 , y 0 = 1 2   ∂ 2   f ∂ x 2   x - ,   y - x - x 0 2   + 2 ∂   2 f ∂ x ∂ y   x - ,   y - x - x 0 y - y 0   +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y - y - y 0 2    

Passo 1

Sob estas condições, podemos usar o polinômio de Taylor. Ou seja,

f x , y = f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x   x 0 , y 0 x - x 0 +   ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - x 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - x 0 2  

Daí, precisamos calcular

∂ f ∂ x   x 0 , y 0 ,

∂ f ∂ y x 0 , y 0  

f x 0 , y 0

Porém, como x 0 , y 0   é   ponto crítico,

∂ f ∂ x   x 0 , y 0 = 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = 0  

Logo, o polinômio fica

f x , y -   f x 0 , y 0 = 1 2   ∂ 2   f ∂ x 2   x - ,   y - x - x 0 2   + 2 ∂   2 f ∂ x ∂ y   x - ,   y - x - x 0 y - y 0   +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y - y - y 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. c) f x , y = s e n ( 3 x + 4 y ) e x 0 , y 0 = ( 0,0 )
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. b) f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e x 0 , y 0 = ( 1,1 )
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. f x , y = e x + 5 y e x 0 , y 0 = ( 0,0 )
Sejam f ( x ,y ) e ( x 0 ,y 0 ) como no exercício anterior. Prove que se a0 e b 2 - 4 a c0 , então f x 0 + h ,y 0 + kf ( x 0 ,y 0 )