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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 10.1 - 40

Seja P um ponto a uma distância d do centro de um círculo de raio r . A curva traçada por P wuando o círculo gira sobre uma reta é chamada trocoide. (Pense no movimento de um ponto sobre um raio de uma roda de bicicleta). A cicloide é um caso especial de trocoide com d = r . Usando o mesmo parâmetro θ que para a cicloide e supondo que a reta seja o eixo x e θ = 0 quando P está em um de seus pontos mais baixos, mostre que as equações paramétricas para a trocoide são

x = r θ - d sin ⁡ θ

y = r - d cos ⁡ θ

Passo 1

Bom, imagina lá nossa circunferência rodando na reta.

A situação é a seguinte:

As coordenadas do nosso ponto P são

P = ( x , y )

E são elas que queremos descobrir, em função de r e θ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As coordenadas do nosso ponto P serão:

x = x C - P A

y = r - A C

Onde esse x C nada mais é do que a coordenada x do centro da circunferência.

Vamos matar logo isso e descobrir essa coordenada.

Se você parar pra pensar, o centro da circunferência vai estar a uma distância da origem exatamente igual a distancia que a nossa circunferência já andou.

E que distância é essa?

É o arco P x c .

E qual o comprimento de um arco de ângulo θ em uma circunferência de raio r ?

Isso mesmo, r θ . Portanto, a coordenada x c vale r θ .

Tranquilo, né?

Já matamos uma parte então.

Passo 3

Agora, vamos ampliar esse triângulo aí de dentro da circunferência:

Ta faltando descobrir o valor dos segmentos P A e A C .

Vamos usar relações fundamentais da trigonometria.

Isso aí é um triangulo retângulo, certo?

Então podemos dizer que

sin ⁡ θ = P A d

cos ⁡ ( θ ) = A C d

Dai temos que

P A = d sin ⁡ θ

A C = d cos ⁡ θ

E PRONTO!

Descobrimos quem faltava!

Passo 4

Agora substituindo tudo em

x = x C - P A

y = r - A C

Temos

x = r θ - d sin ⁡ θ

y = r - d cos ⁡ θ

Que é exatamente aquilo que o enunciado dizia.

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