Enunciado

Seja f x , y = l n ⁡ ( x + y ) Prove que

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤     | |   x , y - s , t | |  

Para quaisquer que sejam x , y   e s , t , com x > 1 , y > 1 , s > 1 e t > 1 .

Passo 1

Se ligue que a questão ta com uma cara da questão anterior né? Então, vamos tentar usá-la, para isso, vamos tentar deixar nosso problema nas hipóteses da questão, ou seja,

“Se existe M > 0 tal que | |     ∇ f x , y | | ≤ M     para todo x , y . E f é diferenciável num aberto A do R 2 então

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤   M   | |   x , y - s , t | |  

Já temos que a função é diferenciável, exceto na origem, mas nossos pontos x > 1 , y > 1 , s > 1 e t > 1 , então não temos problema, blza?

Show!

Mas falta informações sobre o gradiente, então vamos achar esse cabra para ter as informações dele. Espie só,

∇ f x , y = ( 1 x + y , 1 x + y )

Vamos tirar a norma desse bicho ai pra a gente ver uma parada,

| |     ∇ f x , y | =   | |     = 1 x + y , 1 x + y | | =   1 2 x + y 2 + 1 2 x + y 2 ≤ 1  

Então, podemos usar a questão anterior, considerando um conjunto A = {   x , y ∈ R 2 |     x > 1   e   y > 1 }      

Resposta

| |   f x , y   - f s , t | |   ≤     | |   x , y - s , t | |  

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5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.c) f x , y = 5 x 3 y + x 4 + 3
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. f x , y = x 4 + y 4
5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.a) f x , y = x 3 + 2 x y ² x 3 - y ³ ² ³
Suponha que f: IR² → IR seja homogênea do grau 2 ef a , b = a para todo ( a , b ) , com a 2 + b 2 = 1 . Calcule: f 0 , 3
Seja f: IR² → IR uma função linear. Sabendo que f 1,0 = 2ef 0,1 = 3 , calcule f x , y .