Enunciado

9. Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

  1. Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y
  2. Mostre que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y não são contínuas em ( 0,0 )
  3. Mostre, usando a definição que f é diferenciavel em ( 0,0 )
  4. Mostre que f é uma função diferenciavel em R²

Passo 1

Neste item c) descobrimos que nossas derivadas parciais são

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Para valores de x , y ≠ 0,0 , e quando tínhamos na origem, ficamos com o seguinte valor

∂ f 0,0 ∂ x = 0

∂ f 0,0 ∂ y = 0

Uma condição suficiente para uma equação ser diferenciavel é se suas derivadas parciais existem em todo domínio. E provamos ao longo dos exercícios anteriores que existem sim, com valores finitos. Logo

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

É diferenciavel em todo R².Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se z = f x , y ,x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , onde f é uma função diferenciável, expressar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y como funções de r e θ .
Admita a seguinte propriedade: se f x , y for contínua no retângulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , então, para todo ϵ0 , existe δ0 , tal que, quaisquer que sejam x , y e s , t no retângulo, x , y - x , tδ ⇒
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 f x , y = x y x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 b. f x , y = x 1 3 cos ⁡ y
8. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em 0,0 c. f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0 = 0 → x , y = 0,0