Enunciado

9. Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

  1. Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y
  2. Mostre que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y não são contínuas em ( 0,0 )
  3. Mostre, usando a definição que f é diferenciavel em ( 0,0 )
  4. Mostre que f é uma função diferenciavel em R²

Passo 1

Neste item a) descobrimos que nossas derivadas parciais são

∂ f ∂ x = 2 x   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 2 y   sen ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y x 2 + y 2 - 1 cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Agora precisamos mostrar que f é diferenciavel em ( 0,0 ) embora as derivadas parciais se aplicarmos um limite elas não existem nesse ponto. Pra sair dessa enrascada vamos precisar usar a definição de derivada

Passo 2

∂ f x 0 , y 0 ∂ x = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x 0 , y 0 h

∂ f 0,0 ∂ x = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h

= lim h → 0 ⁡ h 2 sen ⁡ 1 ( h ) 2 - 0 h

= lim h → 0 ⁡ h 2 h sen ⁡ 1 h 2

= lim h → 0 ⁡ h sen ⁡ 1 h 2

Como a função seno apenas oscila entre [ - 1,1 ] logo se temos um fator que tende a 0 a equação inteira tende a zero também

= lim h → 0 ⁡ h sen ⁡ 1 h 2 → 0

Passo 3

Como a estruturas da nossa equação é igual se derivarmos tanto x como y, como podemos ver abaixo

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 → x , y ≠ 0,0

= 0 → x , y = 0,0

Podemos afirmar que as derivadas são as mesmas para 0,0

∂ f 0 , 0 ∂ y = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dada z = f ( x 2 + y 2 ) , f diferenciável, mostrar que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .b) x 2 + y 2 - z 2 - x y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .c) x y z - x - y + x 2 = 3
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .a) x 3 y 2 + x 3 + z 3 - z = 1
Determinar as derivadas parciais ∂ w ∂ u e ∂ w ∂ v . w = x 2 + 2 y 2 - z 2 ,x = 2 u v ,y = u + v ,z = u - v w = x y + x z + y z ,x = u 2 - v 2 ,y = u v ,z = u - v 2