Enunciado

Seja S uma superfície descrita pela equação

r → u . v = ( 2 . cos ⁡   u . cos ⁡   v , 2 . sen ⁡ u . cos ⁡   v ,   2 . s e n   ( v ) )

onde 0 ≤ u ≤ π 2 e 0 ≤ v ≤ π 2 .

  1. Determinar as equações da reta normal e do plano tangente à superfície S, no ponto em que u = π 4 e v = π 3 .

Passo 1

Bom gente, a equação do plano tangente à superfície é dada por:

q → . ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 0

Onde q → é dado por:

q → = ( x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 )

E:

x = 2 . cos ⁡   u . cos ⁡   v

y = 2 . sen ⁡ u . cos ⁡   v

z = 2 . s e n   ( v )

Substituindo os valores de u e v:

x = 2 2

y = 2 2

z = 3

Então o vetor q → será dado por:

q → = x - 2 2 ,   y - 2 2 ,   z - 3

Da letra c nós descobrimos que:

∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 = 2 2 ,   2 2 ,   3

Multiplicando:

2 2 ,   2 2 ,   3 × x - 2 2 ,   y - 2 2 ,   z - 3 = 0

2 2 x - 2 2 + 2 2 y - 2 2 + 3 z - 3 = 0

2 2 x + 2 2 y + 3 z = 4

Reorganizando:

2 x + 2 y + 2 3 z = 8

Passo 2

Para a reta normal teremos

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

Já sabemos que o vetor posição será:

r → u 0 , v 0 = r → π 4 , π 3 = 2 2 , 2 2 ,   3

Então:

2 2 , 2 2 ,   3 + t 2 2 ,   2 2 ,   3

= 2 2 + 2 2 t ,     2 2 + 2 2 t ,     3 + 3 t

E terminamos mais uma galerinha !!

Resposta

2 2 + 2 2 t ,     2 2 + 2 2 t ,     3 + 3 t ;

2 x + 2 y + 2 3 z = 8 ,

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