Enunciado

Seja f x = 30 x 2 ( 1 - x 2 ) para 0 ≤ x ≤ 1 e f x = 0 para todos os outros valores de x.

(a) Verifique se   f é uma função densidade de probabilidade.

(b) Encontre P ( X ≤ 1 3 ) .

Passo 1

É simples! Para que a função seja uma densidade de probabilidade, há duas condições:

(1) f x ≥ 0

(2) ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

Então, dado o intervalo do enunciado, fazemos:

f x = 30 x 2 1 - x 2 ≥ 0 e f x = 0

Se tivermos outros valores de x , f x ≥ 0 para todo x . Logo,

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 1 30 x 2 ( 1 - x 2 )   d x

A partir daí é só resolvermos as integrais normalmente!!

Resolvendo o produto notável...

∫ 0 1 30 x 2 ( 1 - 2 x + x 2 ) d x

∫ 0 1 30 x 2 - 60 x 3 + 30 x 4 d x = 30 x 3 3 - 60 x 4 4 + 30 x 5 5 0 1

Substituindo os intervalos...

= [ 30 1 3 3 - 60 1 4 4 + 30 1 5 5 - 0 ]

= 10 - 15 + 6 = 1

Logo, cumpre-se a (2) condição para que seja uma função densidade!!

Passo 2

Para encontrarmos P ( X ≤ 1 3 ) é só substituirmos esse valor em um dos intervalos da integral!! Dessa forma:

∫ 0 1 30 x 2 ( 1 - 2 x + x 2 ) d x

Onde tem o   1 , colocamos 1 3 .

∫ 0 1 3 30 x 2 ( 1 - 2 x + x 2 ) d x

Já resolvemos essa integral no passo 1, portanto

∫ 0 1 3 30 x 2 ( 1 - 2 x + x 2 ) d x = 30 x 3 3 - 60 x 4 4 + 30 x 5 5 0 1 3

= [ 30 ( 1 3 ) 3 3 - 60 ( 1 3 ) 4 4 + 30 ( 1 3 ) 5 5 - 0 ]

= [ 30 ( 1 3 ) 3 3 - 60 ( 1 3 ) 4 4 + 30 ( 1 3 ) 5 5 - 0 ]

∫ 0 1 3 30 x 2 ( 1 - 2 x + x 2 ) d x = 17 81

Tranquilo??

Resposta

(a) Verificação: ∫ 0 1 30 x 2 ( 1 - x 2 )   = 1 ;

(b) 17 81 .

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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