Enunciado

Seja

f x = e - 1 / x 2 ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

a) Use a definição de derivada para calcular f ' ( 0 ) .

b) Mostre que f tem derivada de todas as ordens definidas em R . [Sugestão: Mostre primeiro por indução que existe um polinômio p n ( x ) e um inteiro não negativo k n tal que f n x = p n x f ( x ) / x k n para x ≠ 0 .]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

f x = e - 1 / x 2 ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

No item (a), devemos usar a definição de derivada para calcular a derivada de f em x = 0 .

Já no item (b), devemos mostrar que f admite derivas de todas as ordem em R : para isso, vamos tentar usar a sugestão dada, o que vai requerer uma prova por indução.

Vamos relembrar como se demonsta algum usando o Princípio da Indução Infinita (PIF).

- Primeiro mostramos que vale para n = 1 .

- Depois supomos que vale para n = k - 1 e usamos isso para mostra que vale para n = k .

Passo 2

Não entendeu ainda?? Então se liga nessa analogia:

Pense num jogo de dominó: o primeiro passo significa mostrar que o primeiro dominó cai. Já o segundo passo significa mostrar que se um dominó cai, o seguinte cai também.

Desta forma, se o primeiro cai, o segundo cai também; se o segundo cai, o terceiro cai também, e consequentemente o quarto e assim por diante: todos os dominós vão cair.

A lógica quando demonstramos algo usando o PIF é a mesma!!!

Passo 3

No item (a) não vamos usar o PIF, precisamos apenas da definição de derivada:

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Como f 0 = 0 , temos que

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = lim x → 0 ⁡ e - 1 / x 2 x

Quando x → 0 , e - 1 / x 2 → e - ∞ → 0 , de modo que temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Vamos fazer uma mudança de variável: t = 1 / x 2 .

Assim, quando x → 0 , t → ∞ . Logo, o limite fica

lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x = lim t → ∞ ⁡ t   e - t = lim t → ∞ ⁡ t e t

Passo 4

Agora temos uma indeterminação dotipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Como t ' = 1 / 2 t , temos que:

lim t → ∞ ⁡ t e t = lim t → ∞ ⁡ 1 2 t   e t = 1 ∞ = 0

Assim, temos que

f ' 0 = 0

Passo 5

Agora vamos resolver o item (b).

Vamos comçar coma sugestão dada no enunciado. Usando o PIF, o primeiro passo é mostrar que vale para n = 1 . Para x ≠ 0 , derivando e - 1 / x 2 :

f ' x = f ( 1 ) ( x ) = e - 1 x 2 ' = e - 1 / x 2 ⋅ 2 x 3 = 2 f x x 3

Tomando p 1 x = 2 e k 1 = 3 , vemos que para n = 1 , vale p n x f ( x ) / x k n para x ≠ 0 .

Agora vamos à parte mais chatinha: a segunda parte do PIF. Vamos supor que a relação vale para n = k - 1 (algum dominó cai), vamos provar que vale também para n = k (o dominó seguinte cai).

Como vale para n = k - 1 , temos que

f k - 1 x = p k - 1 x f x x k k - 1

Passo 6

Agora vamos derivar essa expressão para achar f k ( x ) :

f k x = f k - 1 x ' = p k - 1 x f x ' x k k - 1 - p k - 1 x f x   x k k - 1 ' x 2 k k - 1

Para simplificar notação, vou chamar k k - 1 = t . Assim,

f k x = p k - 1 x f x ' x t - p k - 1 x f x   x t ' x 2 t

Temos que

p k - 1 x f x ' = p k - 1 ' x   f x + p k - 1 x   f ' ( x )

Como f ' x = 2 f ( x ) / x 3 , temos que

p k - 1 x f x ' = p k - 1 ' x   f x + 2   p k - 1 x f x x 3

Passo 7

Assim, fazendo o mmc:

p k - 1 x f x ' = x 3 p k - 1 ' x + 2 p k - 1 x f x   x 3

Para simplificar notação, vou chamar x 3 p k - 1 ' x + 2 p k - 1 x = P ( x ) , assim

p k - 1 x f x ' = P x   f ( x ) x 3

Como x t ' = t   x t - 1 , temos que

f k x = P x   f ( x ) x 3   x t - p k - 1 x f x   t   x t - 1 x 2 t = P x x 3 x t - t   p k - 1 x x t - 1 f x x 2 t

Por outro lado,

P x x 3 x t - t   p k - 1 x x t - 1 = P x x t - t   p k - 1 x x t + 2   x 3 = x t   P x - t   p k - 1 x 2 x 3

Assim,

f k x = x t   P x - t   p k - 1 x 2 x 3 f x x 2 t = P x - t   p k - 1 x 2 f x x t + 3

Definindo P x - t   p k - 1 x 2 = p k ( x ) e k k = t + 3 , temos que

f k x = p k x   f ( x ) x k k

Provamos assim por indução que para x ≠ 0 ,

f n x = p n x   f ( x ) x k n

Passo 8

Vimos então que para x ≠ 0 , f admite derivadas de todas as ordens.

E para x = 0 ? Vamos definir que para x = 0 , f ( n ) 0 = 0 .

Assim, a próxima derivada, pela definição, será

f n + 1 0 = lim x → 0 ⁡ f n x - f n 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ f n x x = lim x → 0 ⁡ p n x   f x x k n + 1

Para simplificar, vamos tomar p n x = p ( x ) e k n + 1 = k . Assim,

f n + 1 0 = lim x → 0 ⁡ p x   f ( x ) x k = lim x → 0 ⁡ p x ⋅ lim x → 0 ⁡ f x x k

Como p ( x ) é um polinômio, o limite lim x → 0 ⁡ p x será finito, então apenas o outro limite importa:

lim x → 0 ⁡ f x x k = lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x k

Passo 9

Devemos mostrar que esse limite é nulo de modo que, se tomarmos f ( n ) 0 = 0 , então f ( n + 1 ) 0 = 0 e, assim, todas a derivadas calculadas em x = 0 serão nulas e definidas nesse ponto.

Vamos fazer a mudança de variável t = 1 / x 2 . Assim, quando x → 0 , t → ∞ . Por outro lado, x = 1 / t , de modo que

x k = 1 t k = 1 t k / 2

Desta forma, o limite fica

lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x k = lim t → ∞ ⁡ t k / 2   e - t = lim t → ∞ ⁡ t k / 2 e t

Passo 10

Note que temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Aplicando a regra de L’Hospital:

lim t → ∞ ⁡ k 2   t k 2 - 1 e t

Se k 2 - 1 ≤ 0 , o limite se anulará.

Caso contrário, teremos novamente uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e poderemos aplicar L’Hospital de novo. Em algum momento, k 2 - 1 ≤ 0 e o limite se anulará.

Assim, provamos que f n + 1 0 = 0 .

Desta forma, definindo as derivadas de f como

f ( n ) x = p n x f ( x ) / x k n ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

vemos que f tem derivada de todas as ordens definidas em R .

Resposta

a) 0 .

b) Demonstração.

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