Enunciado

Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então:

f x y y = f y x y = f y y x

Passo 1

Pelo Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, temos que se duas funções forem contínuas, então:

f x y = f y x

Utilizando esse raciocínio para o nosso caso de três variáveis, temos que:

f x y y = f x y y = f y x y = f y x y = f y x y = f y y x = f y y x

Os colchetes foram utilizados para enfatizar os momentos em que o Teorema em questão foi utilizado, tudo bem? Sendo assim, fica provado que, de fato:

f x y y = f y x y = f y y x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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