Enunciado

Seja V o volume do sólido que está abaixo do gráfico de f x , y = 52 - x 2 - y 2 e acima do retângulo dado por 2 ≤ x ≤ 4 , 2 ≤ y ≤ 6 . Usamos as retas x = 3 e y = 4 para dividir R em subretângulos. Sejam L e U as somas de Riemann calculadas utilizando como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos e os cantos supeirores direitos, respectivamente. Sem calcular os números V , L e U , coloque-os em ordem crescente de valor e explique seu raciocínio.

Passo 1

Vamos analisar f x , y :

Quanto maiores os valores x e y que estão conectados à f x , y = 52 - x 2 - y 2 , menor vai seu valor final. Isso significa que para obter os maiores valores, x e y precisam ser o menor possível. Assim a função terá seu maior valor no canto inferior esquerdo do sub-retângulo e seu menor valor na parte superior do canto direito, e qualquer outro valor estará entre esses dois.

Como L está relacionado com o inferior esquerdo e U com o superior direito, o valor L é maior que o valor U .

L > U

Agora com V , poderíamos tomar o ponto médio, vamos estimar sem cálculos que o ponto médio vai ser menor que L por causa dos valores x e y que seriam conectados. Também podemos ver que isso vai nos dar valores ligeiramente maiores que U pelo mesmo motivo. Assim, temos:

L > V > U

Resposta

L > V > U

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