Enunciado

a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x + 2 y 2 e acima do retângulo R = 0,2 × [ 0,4 ] . Use a soma de Riemann com m = n = 2 e escolha os pontos amostrais como os cantos inferiores direitos.

b) Use a regra do ponto médio para dar uma estimativa da integral do item (a).

Passo 1

A questão pede para calcularmos o volume de um sólido estimando a integral de duas formas diferentes usando a soma de Riemann: no item (a) vamos usar como pontos amostrais os extremos inferiores direitos dos retângulos; já no item (b) usaremos o ponto médio.

Fazendo a soma de Riemann com m = n = 2 , vamos particionar os intervalos em x e y em duas partes. Em x , teremos os intervalos

0,1   e   1,2

Já em y , teremos

0,2   e   [ 2,4 ]

Desta forma, os retângulos terão base 1 e altura 2 :

Δ A = 1 ⋅ 2 = 2

Assim,

V = ∬ R ( x + 2 y 2 )   d A ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   Δ A   = 2 ⋅ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   ,

onde f x , y = x + 2 y 2 .

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a). Tomando como pontos amostrais os cantos inferiores direitos, podemos construir uma tabela com os valores de f ( x i , y j ) :

Somando todos os pontos da tabela:

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   = 1 + 2 + 9 + 10 = 22

Assim,

V = ∬ R ( x + 2 y 2 )   d A ≈ 44

Passo 3

Neste passo vamos resolver o item (b):

Usando a regra do ponto médio, a tabela com os valores de f fica:

Somando os termos da tabela, temos que

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i , y j   = 5 2 + 7 2 + 37 2 + 39 2 = 44

Assim, pela regra do ponto médio

V = ∬ R ( x + 2 y 2 )   d A ≈ 88

Resposta

a) 44

b) 88

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