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Seja V o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região limitada por y = x e y = x ² . Encontre V pelo método de fatiamento e cascas cilíndricas. Em ambos os casos, desenhe um diagrama para explicar seu método.

Passo 1

Pelo método de fatiamento temos os seguintes esboços:

Aqui houve uma transformação na função y = x elevando os dois lados ao quadrando, chegando na função x = y ² .

Calculando o volume:

V = ∫ 0 1 π y 2 - y 2 2 d y = π ∫ 0 1 y - y 4 d y = π 1 2 y 2 - 1 5 y 5 0 1 = π 1 2 - 1 5 = 3 π 10

Passo 2

Calculando pelo método das cascas cilíndricas temos o desenho seguinte:

Calculando o volume:

V = ∫ 0 1 2 π x x - x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 x 3 2 - x 3 d x = 2 π 2 5 x 5 2 - 1 4 x 4 0 1 = 2 π 2 5 - 1 4

= 2 π 3 20 = 3 π 10

Resposta

V = 3 π 10 .

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