Enunciado

Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = u   s e n   v e z = u .

  1. Mostre que a transformação σ transforma a reta u = u 1 ( u 1 ≠ 0 constante) numa circunferência. Desenhe tal circunferência no caso u 1 = 1 2 .
  2. Mostre que σ transforma a reta v = v 1 ( v 1 constante) numa reta (no espaço xyz) passando pela origem.
  3. Desenhe σ ( B ) onde B é o retângulo 0 ≤ u ≤ 1   e   0 ≤ v ≤ 2 π .

Passo 1

  1. Olha só, usando u = u 1 , nós temos o seguinte:
  2. x = u 1 cos ⁡ v y = u 1 s e n   v z = u 1

    Quem manja um pouquinho de coordenadas polares vê que isso aí é uma circunferência de raio u 1 , centrada em 0,0 , u 1 . Pela equação já fica provado.

    No caso da u 1 = 1 2 , é uma circunferência de raio 1 2 , centrada no plano z = 1 2 . Eis o desenho:

    Passo 2

  3. Bom, se v = v 1 é constante, a gente tem:
  4. x = u cos ⁡ v 1

    y = u   s e n   v 1

    z = u

    Nesse caso, a variável é somente u , já que cos ⁡ v 1 ,   s e n   v 1 são valores constantes agora. Daí, como u ≥ 0 , temos o ponto ( 0,0 , 0 ) pertencente a reta . Ou seja, é uma reta que passa pela origem.

    Passo 3

  5. Bom, nesse caso a gente vai ter a partir do ponto ( 0,0 , 0 ) várias circunferências, ou seja, temos um cone com vértice em ( 0,0 , 0 ) e com área lateral sendo formada por vários círculos com raio variando de 0   a   1 .

Eis o desenho:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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