Caso Avançado

Teoria Completa

Em parametrização explícita, vimos o que é parametrização e a parametrização de superfícies que podiam ser escritas como z = f x , y ,   x = g y , z ,   y = h ( x , z ) .

Agora vamos aprofundar nosso conhecimento aprendendo outras parametrizações importantíssimas! Vale lembrar que qualquer superfície pode ser parametrizada, mas temos que ter cuidado de escolher parâmetros que nos ajude a resolver o problema! Lembre-se: parametrizar superfície, sempre 2 parâmetros.

Em algumas superfícies é muito útil utilizar uma parametrização mais específica. Vamos ver três casos importantes que são: a parametrização de um cilindro, a de uma esfera e a de uma superfície de revolução.

Mas, antes de parametrizar estas superfícies, vamos revisar duas relações trigonométricas importantes!

A primeira é a relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Outra relação muito importante é:

tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Parametrização de um cilindro

Seja um cilindro de equação x 2 + y 2 = r 2 . Olha lá, por cilindro entendemos só a parte lateral, não estamos falando das tampas em cima nem embaixo. Então, vamos escolher os seguintes parâmetros:

x = R cos ⁡ θ y = R sen ⁡ θ z = z  

Mas, não eram para ser em função de dois parâmetros?! Aí os pontos estão em função de R ,   θ e z .

Calma! Estamos vendo a equação genérica de um cilindro, então chamamos o raio de R , mas ele é um valor constante, não é uma variável. Logo, não é um parâmetro. Olha o exemplo desse cilindro aqui

x 2 + y 2 = 10 → R = 10

x = 10 cos ⁡ θ y = 10 sen ⁡ θ z = z  

Parametrização de uma esfera

Agora vamos ver a esfera! Uma esfera genérica tem equação x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , onde R   é o raio da esfera. A parametrização esférica usa os parâmetros:

x = R   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) y = R   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) z = R   c o s ⁡ ( ϕ )

Agora já podemos associar ao cilindro, né? Aconteceu a mesma coisa! R aqui é um valor constante, então os parâmetros da esfera são ϕ e θ

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → R = 2

x = 2   c o s ( θ ) s e n ( ϕ ) y = 2   s e n ( θ ) s e n ( ϕ ) z = 2   c o s ⁡ ( ϕ )

Parametrização de uma superfície de revolução

Algumas vezes o seu problema vai te pedir para calcular uma “superfície de revolução”, ou então “a superfície obtida girando a função f em torno de algum eixo”. Muita calma nessa hora, jovem! O nome parece difícil de entender, mas esse tipo de questão tem um macete que vai deixar tudo tranquilo! Olha só esse exemplo aqui:

Encontre uma parametrização da superfície resultante da rotação da reta y + x = 3 , limitada por 1 ≤ x ≤ 2 , em torno do eixo y .

A superfície que o enunciado está se referindo é a seguinte:

Ok, entendi, mas e ai? Como parametrizo esse tipo de superfície?

É bem simples! Dá para perceber que a “ideia” de eixo x e eixo z se confunde no problema? Ou seja, se eu começasse pela mesma reta, só que no plano y z daria na mesma superfície! Por isso, quando rodamos no eixo y , as parametrizações de x e z vão estar associadas! A mesma coisa vai acontecer quando rodarmos nos eixos x ou z .

No nosso problema, vamos dizer que x t = t , com isso, pela equação inicial temos:

x + y = 3

y = 3 - x

y t = 3 - t

E vamos colocar um fator referente ao giro que fizemos com a função.

φ t , θ = ( t cos ⁡ θ , 3 - t , t sen ⁡ θ )

Perceba que esse fator não entrou no parâmetro de y porque giramos em torno dele! Além disso, a função x t está presente no termo z também, isso por causa daquela história de x e z serem parecidos quando rodamos no eixo y , lembra?

Pronto, está parametrizada!

De forma geral...

Rotação no eixo x :

φ t , θ = ( x t , y t cos ⁡ θ , y t sen ⁡ θ )

Rotação no eixo y :

φ t , θ = ( x t cos ⁡ θ , y t , x t sen ⁡ θ )

Rotação no eixo z :

φ t , θ = ( x t cos ⁡ θ , x t sen ⁡ θ , z t )

Parametrização x Mudança de variáveis

Devemos ficar atentos na diferença entre parametrizar uma curva e fazer mudança de variáveis! É muito comum confundir os dois, pois as expressões são realmente parecidas.

Para começar, vimos que na parametrização de superfícies colocamos a função em dois parâmetros. Já na mudança de variáveis, continuamos com três variáveis no problema!

Qual é a conclusão que podemos tirar disso, e isso aqui é muito importante: Quando escrevemos algo com dois parâmetros, isso representa uma superfície! Quando escrevemos algo com três parâmetros, isso representa um sólido! Não vai confundir isso, beleza?

Vamos ver um exemplo?

Sabemos que um sólido esférico de equação x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 é escrito em coordenadas esféricas como:

x = r cos ⁡ θ sen ⁡ ( ϕ )   y = r sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ( ϕ ) z = r cos ⁡ ϕ  

Com as variáveis definidas no seguinte intervalo,

0 ≤ r ≤ R

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Ou seja, ao mudar de variáveis o nosso problema sai de ( x , y , z ) para r , θ , ϕ .

Agora se pegarmos somente a superfície esférica deste sólido, concorda que a variável r   não é mais uma variável, é fixa e seu valor é R ?

Então, a equação da superfície esférica é x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e como r é fixo e de valor igual a R , a superfície só depende das variáveis θ e ϕ (Veja só, dois parâmetros!!) e a função de parametrização é:

φ θ ,   ϕ = ( R cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,   R sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ,   R cos ⁡ ( ϕ ) )

Com os parâmetros θ e ϕ variando,

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Acho sempre válido explicar aqui, cada parametrização está associada a apenas uma superfície! Da mesma forma que a gente olha pra essa equação x + y + z = 1 e “sabe” que é um plano que passa por 1,0 , 0 , 0,1 , 0 e 0,0 , 1 . Um computador consegue olhar para a parametrização

x = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ ( ϕ )   y = 2 sen ⁡ ( θ ) sen ⁡ ( ϕ ) z = 2   c o s ⁡ ( ϕ )  

E saber que o esboço disso é uma esfera de raio 2 centralizada na origem.

Deu para clarear um pouco a diferença? Bom, vamos aos exercícios pra fixar melhor isso aí!!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ, Lista de Parametrização, Questão 4

Parametrize a parte da superfície:

x 2 + y 2 = 2 x

Limitada pelas superfícies:

z = 0

z = x 2 + y 2

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Passo 1

Reescrevendo a equação da superfície, temos:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

Completando o quadrado perfeito: x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Ou seja, se trata de um cilindro de raio 1 com centro no ponto 1,0 .

Passo 2

Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:

x - 1 = r cos ⁡ θ

y = r   sen θ

0 ≤ θ ≤ 2 π .

Aplicando na equação do cilindro:

r cos ⁡ θ 2 + r   sen θ 2 = 1

r 2 = 1 → r = 1

Portanto, o parâmetro r sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização ϕ é:

ϕ θ , v = cos ⁡ θ + 1 ,   sen θ , z θ , v

Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer z . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o z sendo o próprio parâmetro z :

z = z

Logo:

ϕ θ , z = cos ⁡ θ + 1 ,   sen θ , z

E está parametrizado.

Passo 3

Agora podemos começar à pensar nos limites da superfície. A única coisa que falta agora é deixar os limites em função dos nossos parâmetros, e não das variáveis x e y .

Sabemos que:

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Logo, o z tem limites:

0 ≤ z ≤ 1 + cos ⁡ θ 2 + se n 2 θ

Agora na real já está pronto. Falta só arrumar, mas não é de palhaçada não. Arrumar algebricamente esse tipo de coisa (i.e. limitações da superfície) é algo que vai te ajudar na hora de fazer alguma integral nos próximos capítulos. Arrumando:

0 ≤ z ≤ 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + se n 2 θ

0 ≤ z ≤ 2 + 2 cos ⁡ θ

0 ≤ z ≤ 2 1 + cos ⁡ θ

E encerrou!

Resposta

ϕ θ , z = cos ⁡ θ + 1 ,   sen θ , z

0 ≤ z ≤ 2 1 + cos ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

Exercício Resolvido #2

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo – volume 3, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997, pp. 209 - 3.

Determine uma parametrização para o conjunto de todos ( x , y ,   z ) tais que

x 2 a + y 2 b + z 2 c = 1

Onde a ,   b   e c são constantes estritamente positivas.

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Passo 1

A equação que queremos parametrizar é parecida com a equação da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , assim, vamos tentar usar a parametrização parecida com a esférica!

Mas antes de usar a parametrização vamos definir novas variáveis que tornem a nossa equação igual a da esfera, assim:

x ' = x a y ' = y b z ' = z c

Que quando substituímos na equação que queremos parametrizar temos:

x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 = 1

Passo 2

Podemos parametrizar a nova equação com coordenadas esféricas. Segue que:

x ' = cos ⁡ θ s e n ϕ y ' = s e n θ s e n ϕ z ' = cos ⁡ ϕ