Enunciado

Seja F → x , y , z = ( x + y + z 2 ) k → e seja σ a fronteira do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 3 .

Calcule ∬ σ F → ⋅ n →   d S onde n → é a normal que aponta para fora do cilindro.

Passo 1

Vamos usar o teorema da divergência:

∬ σ F → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   F →   d x d y d z

Vamos fazer o divergente do campo. Veja que a gente só tem componente em k → , então as derivadas parciais em x   e   y são zero.

∂ F ∂ x = 0

∂ F ∂ y = 0

∂ F ∂ z = 2 z

Então nossa integral se transformou em:

∭ B 2 z   d x d y d z

Passo 2

Beleza, agora a gente parametriza a região de integração, que é o nosso cilindro de raio que vai até 2.

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ z = z

Onde:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ z ≤ 3

Vamos montar essa integral agora:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 3 2 z   ρ d z d ρ d θ

Passo 3

Agora a gente integra em cada variável...

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 z 2 0 3 ρ d ρ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 9   ρ d ρ   d θ

= ∫ 0 2 π 9 ρ 2 2 0 2 d θ

= ∫ 0 2 π 1 8   d θ

= 1 8 2 π

= 3 6 π

Prontinho! Então ∬ σ F → ⋅ n →   d S = 3 6 π nesse caso.

Resposta

3 6 π

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