Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 7.6 - Ex. 2a

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2. Sejam F → t = t   i → + j → + e t   k → e G → t = i → + j → + k → . Calcule

a)

∫ 0 1 F → t ∧ G → t   d t

Passo 1

Primeiramente, vamos primeiro calcular F → t ∧ G → t .

F → t × G → t = i → j → k → t 1 e t 1 1 1

Logo,

F → t × G → t = 1 - e t i → + e t - t j → + t - 1 k →

Passo 2

Agora que já achamos F → t ∧ G → t , vamos integrar. Mas antes, deixa eu te lembrar uma coisa!

∫ F → ( t ) d t = ∫ F x t d t ,   ∫ F y t d t ,   ∫ F z t d t

Voltando para o nosso exercício:

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = ∫ 0 1 1 - e t d t , ∫ 0 1 e t - t d t ,   ∫ 0 1 t - 1 d t

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Não esquece: ∫ e x d x = e x + c  

Passo 3

Integrando, temos:

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = t - e t i → + e t - t 1 + 1 1 + 1 j → + t 1 + 1 1 + 1 - t k → 0 1

Assim,

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = t - e t i → + e t - t 2 2 j → + t 2 2 - t k → 0 1

Aplicando entre os pontos 0 e 1 :

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = 1 - e , e - 1 2 , 1 2 - 1 - - 1,1 , 0

Fazendo as contas:

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = 2 - e , e - 3 2 , - 1 2

Isto é,

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = 2 - e i → + e - 3 2 j → - 1 2   k →

Resposta

∫ 0 1 F → t × G → t   d t = 2 - e i → + e - 3 2 j → - 1 2   k →

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