Enunciado

Suponha que s = f ( t ) seja a equação do movimento de uma partícula sobre uma reta, onde f satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio. Mostre que a conclusão do teorema do valor médio assegura que irá existir um certo instante em qualquer intervalo de tempo, no qual a velocidade instantânea será igual à velocidade média para aquele mesmo intervalo de tempo.

Passo 1

Primeiro de tudo vamos lembrar o que o teorema do valor médio diz. Seja f uma função, tal que seja contínua no intervalo fechado [ a , b ] e seja derivável no intervalo aberto ( a , b ) . Então, existirá um número c no intervalo aberto ( a , b ) , tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

No nosso problema, temos a função que define o movimento s = f ( t ) e sabemos que a taxa de variação do movimento em relação ao tempo é a velocidade instantânea, certo?

Passo 2

Como f satisfaz as hipóteses do TVM, podemos escrever o seguinte:

Suponha que f satisfaça as hipóteses do TVM em um intervalo qualquer [ t 1 , t 2 ] , portanto existe um c tal que t 1 < c < t 2 e

f ' c = f t 2 - f t 1 t 2 - t 1 = Δ s Δ t

f ' ( c ) é a velocidade instantânea no instante t = c e f t 2 - f t 2 t 2 - t 1 = Δ s Δ t é a velocidade média. Dessa forma, existe algum instante durante o intervalo de tempo em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média durante esse intervalo de tempo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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