Enunciado

Sejam F → ,   G → : A → R n e f : A → R contínuas em t 0 ∈ A . Prove que F → + G → , f   F → , F → ⋅ G → são contínuas em t 0 . Se n = 3 , F → × G → também é contínua em t 0 .

Passo 1

Para que uma função x ( t ) seja contínua em t 0 , é preciso que o limite lim t → t 0 ⁡ x ( t ) exista e que

lim t → t 0 ⁡ x ( t ) = x ( t 0 )

Então se lim t → t 0 ⁡ F → ( t ) = a → , temos que F → t 0 = a → e se lim t → t 0 ⁡ G → ( t ) = b → , G → t 0 = b → .

Provamos no exercício 2 que

lim t → t 0 ⁡ F → + G → = a → + b →

Então

lim t → t 0 ⁡ F → + G → = F → ( t 0 ) + G → t 0

Logo a função soma F → + G → t é contínua em t 0 .

Passo 2

Seguindo a mesma lógica, se lim t → t 0 ⁡ f ( t ) = L então f t 0 = L .

Como provado na questão 2

lim t → t 0 ⁡ f   F → = L a →

= f t 0   F → ( t 0 )

E a função f   F → t é contínua em t 0 .

Passo 3

Foi provado pelo autor, nessa seção que

lim t → t 0 ⁡ F → ⋅ G → = a → ⋅ b →

Então, usando esta propriedade

= F → t 0 ⋅ G → ( t 0 )

E a função F → ⋅ G → t é contínua em t 0 .

Passo 4

Por fim provamos que

lim t → t 0 ⁡ F → × G → = a → × b →

= F → t 0 × G → t 0

E a função F → × G → t é contínua em t 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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