Enunciado

Sejam dados u → = u 1 , u 2 , u 3 e v → = v 1 , v 2 , v 3 com u → ⋀ v → ≠ 0 . Verifique que x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + s u → + t v →   s , t ∈ R é a equação vetorial do plano que passa por x 0 , y 0 , z 0 e que é perpendicular a n → = u → ⋀ v → .

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrarmos o plano que passa pelo ponto x 0 , y 0 , z 0 e é perpendicular a n → = u → ⋀ v → , e a seguir comparar com a equação dada.

Os dados que o problema fornece são:

-Os vetores u → e v → ;

-O ponto x 0 , y 0 , z 0 , que pertence ao plano e é conhecido; e

-O ponto x , y , z , que também pertence ao plano, mas deve ser determinado por nós em função dos 2 dados acima.

O enunciado também dos informa que u → ⋀ v → ≠ 0 . Trata-se de apenas um formalismo para dizer que u → e v → não são colineares e portanto existe um plano formado por u → e v → . Este dado não interfere nos cálculos.

Passo 2

Para matar a questão a pau, basta desenharmos os dados do problema:

Só de olhar para a figura, podemos afirmar que qualquer ponto x , y , z do plano pode ser construído a partir do ponto inicial x 0 , y 0 , z 0 e mais “alguma combinação” dos vetores u → e v → . Vamos designar esta combinação por s u → + t v → , onde s e t são números. Assim, a nossa afirmação, equacionada, daria o seguinte:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + s u → + t v →

Que é o que precisávamos verificar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja o paralelepípedo de dimensões 2 , 3 e 4 , representado a seguir. Determinar as equações da reta que passa pelos pontos O e F
Mostre que a reta r : x = 3 t + 1 y = - 2 t - 1 z = t é paralela ao plano π : x + 2 y + z + 3 = 0 .
Nos problemas 47 e 48, determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos: π 1 : 2 x + y - 2 = 0π 2 : z = 3
Nos problemas 47 e 48, determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos: π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0π 2 : x + y - z - 3 = 0
Determinar o ponto de interseção das retas: r : 3 x + y + 6 z + 13 = 0 9 x + 3 y + 5 z = 0e s : x = 1 4 x + y - z - 9 = 0