Enunciado

Seja r → = x i → + y k → + z k → e seja B um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove:

v o l   B = 1 3 ∬ σ r → ⋅ n →   d S

Onde σ é a fronteira de B com normal exterior n → .

Passo 1

Segundo o teorema da divergência:

∬ σ r → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   r →   d x d y d z

Vamos fazer o divergente do campo...

d i v   r → = ∂ r ∂ x + ∂ r ∂ y + ∂ r ∂ z

= 1 + 1 + 1

d i v   r → = 3

Nossa integral então fica:

∬ σ r → ⋅ n →   d S = ∭ B 3   d x d y d z

Passo 2

Agora olha só, como que calcula o volume de B ? Com essa integral aqui oh:

v o l   B = ∭ B d x d y d z

Ou seja...

v o l   B = 1 3 ∭ B 3   d x d y d z

v o l   B = 1 3 ∬ σ r → ⋅ n →   d S

Como queríamos provar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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