Enunciado

8. Sejam F 1 ( x , y ) e F 2 x , y funções reais de classe C 1 em U = R 2 - A , B (A e B como na figura 6.18) tais que

∂ F 1 ∂ y   = ∂ F 2 ∂ x

Em U. Sendo C 1 ,   C 2 , C 3 as curvas dadas na figura 6.18. Calcule

∮ c 3   F 1 d x +   F 2 d y

Supondo que

∮ c 1 F 1 d x +   F 2 d y = 12

E

∮ c 2 F 1 d x +   F 2 d y = 15

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Nesta questão temos

∮ c 3   F 1 d x +   F 2 d y =   ∮ c 1   F 1 d x +   F 2 d y - ∮ c 2   F 1 d x +   F 2 d y

Porque podemos falar isso? Simples

∂ F 1 ∂ y   = ∂ F 2 ∂ x

Então as integrais teriam que zerar em todo o domínio. Contudo

∂ F 1 ∂ y   = ∂ F 2 ∂ x

Não funciona nos pontos A e B. Assim reduzimos a calcular o fluxo que escapa nesses pontos. Agora beleza, como sabemos que um soma e outro diminui? A orientação das curvas nos dá essa dica. C1 está com a mesma orientação que C3, já C2 está com uma orientação contraria.

∮ c 3   F 1 d x +   F 2 d y =   12 - 15

∮ c 3   F 1 d x +   F 2 d y =   - 3

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ c 3   F 1 d x +   F 2 d y =   - 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha ∫ ( 1,2 , 1 ) ( 2,1 , 1 ) ( 2 x ln ⁡ y - y z ) d x + x 2 y - x zd y - x y d z
Nos Exercícios 13-16, encontre as integrais de linha ao longo do caminho C dado.
Nos Exercícios 19-22, encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente.
Nos Exercícios 13-16, encontre as integrais de linha ao longo do caminho C dado.
Nos Exercícios 13-16, encontre as integrais de linha ao longo do caminho C dado.