Enunciado

Sejam f x = x 2 sen ⁡ 1 x e g x = x . Verifique que lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ g x = 0 , lim x → 0 ⁡ f x g x = 0 e que lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x não existe. Há alguma contradição com a 1 ª regra de L’Hospital?

Passo 1

Vamos lá, vamos primeiro calcular o limite de f x usando o Teorema do Confronto:

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x

Como temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores - 1,1 , assim:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Agora vamos multiplicar tudo de expressão por x 2 , deixando a função igual a do limite:

- x 2 ≤ x 2 sen ⁡ 1 x ≤ x 2

Pronto, agora nós temos uma das condições do Teorema do Confronto:

- x 2 ≤ x 2 sen ⁡ 1 x ≤ x 2 ⇒ h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ j ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2

Fica bem mais fácil encontrar esses limites que o limite de f x , se esses dois limites forem iguais, pelo Teorema do Confronto o limite da função de f x também é igual a esse valor encontrado.

Passo 2

Com o primeiro limite temos que:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = 0

Com o segundo:

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Assim, temos que os dois limites são iguais e tem valor 0 :

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x = 0

Passo 3

Já para o limite lim x → 0 ⁡ g x temos:

lim x → 0 ⁡ x = 0

Vamos calcular agora lim x → 0 ⁡ f x g x :

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Vamos aplicar novamente o Teorema do Confronto, com a diferença aqui que vamos multiplicar por x as expressões:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1 → - x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x

Vamos agora testar se:

lim x → 0 ⁡ - x = lim x → 0 ⁡ x

Com o primeiro vemos que:

lim x → 0 ⁡ - x = 0

E com o segundo:

lim x → 0 ⁡ x = 0

Assim, temos que os dois limites são iguais:

lim x → 0 ⁡ - x = lim x → 0 ⁡ x = 0

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

Passo 4

E agora por último calculando lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x , vamos calcular f ' x e g ' x :

f ' x = x 2 sen ⁡ 1 x ' = 2 x sen ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

g ' x = x ' = 1

Substituindo no limite temos:

lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x = lim x → 0 ⁡ 2 x sen ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x 1 = lim x → 0 ⁡ 2 x sen ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x

Esse limite não existe, pois, as funções seno e cosseno são limitadas os valores entre - 1 e 1 , ao aplicar o limite com x → 0 , teríamos seno e cosseno de um valor infinito, o que não faz sentido, pois nunca resultariam em valores dentro desse intervalo.

Não há alguma contradição com a 1 ª regra de L’Hospital, pois ela diz que se lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x existe então existirá lim x → 0 ⁡ g x g x , mas não o contrário, não é uma relação de se somente se.

Resposta

Não há alguma contradição com a 1 ª regra de L’Hospital, pois ela diz que se lim x → 0 ⁡ f ' x g ' x existe então existirá lim x → 0 ⁡ g x g x , mas não o contrário, não é uma relação de se somente se.

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