Enunciado

Sejam B ⊂ R 3 e f x , y , z uma função contínua em B . Seja ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto interior de B . Para cada natural n , seja B n uma bola de centro x 0 , y 0 , z 0 e raio r n , com B n ⊂ B . Suponha que r n tende a zero quando n tende a + ∞ . Seja V n o volume de B n . Prove que

lim n → + ∞ ⁡ 1 V n ∭ B n f x , y , z d x d y d z = f x 0 , y 0 , z 0

Sugestão: Utilize o Teorema do valor médio para integrais.

Passo 1

Tome o teorema do valor médio para integrais na qual, temos que

∫ a b f x d x = f ( z ) ( b - a )

Passo 2

Assim temos que

∭ B n f x , y , z d x d y d z = f x , y , z V n

Desta forma temos

lim n → + ∞ ⁡ 1 V n ∭ B n f x , y , z d x d y d z = lim n → + ∞ ⁡ f x , y , z

E agora tome que, quando n → + ∞ , r n → 0 , ou seja, nosso conjunto B n tende ao centro da nossa esfera, definida em x 0 , y 0 , z 0 . Logo

lim n → + ∞ ⁡ f x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0

era de se acreditar que seria um exercício difícil, mas só precisávamos aplicar o teorema do valor médio para integrais e aplicar as condições propostas pelo exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho. ∭ B 1 ln ⁡ ( 1 + x + y + z ) d V onde B = x , y , z |
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho. ∭ B sen ⁡ ( x y 2 z 3 ) d V onde B = x , y , z |0 ≤ x
Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f ( x , y , z ) é calculada no centro ( x - i , y - j , z - k )
Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y 2 + z 2 = 1 pelos planos y = x e x = 1 como uma integral tripla.Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10
Hipervolume Aprendemos que 1ab 1 dx é o comprimentodo intervalo [a, b] na reta real (espaço unidimensional), 11R1 dA é a área da região R no plano xy (espaço bidimensional) e111D 1 dV é o volume da re