Enunciado

12. int sec^2 2 theta d theta

Passo 1

Falaaaaeeeeee, beleza?! Então, vamos resolver essa integralzinha ai!!!

Então cara, quando vamos integrar temos de pensar mais ou menos o seguinte, “qual a função que se eu derivar terei essa função ai da integral?”. No nosso caso, qual função que quando eu derivo, chego em sec^2 theta ?

A resposta é, tan theta . Se eu derivar tan theta eu terei sec^2 theta . Mas essa é a resposta da nossa questão?! Nããããããooooo.

Vem comigo, não queremos integrar sec^2 theta , queremos integrar sec^2 2 theta . Hmmmmm, esse 2 theta acabou com a gente hein?! Que nada, olha só o próximo passo.

Passo 2

A gente sabe que a resposta para int sec^2 theta d theta = tan theta + C , então vamos transformar a nossa integral que foi dada no exercício nessa integral mais simples que sabemos a resposta. Para isso, precisaremos fazer uma substituição simples, olha só:

int sec^2 2 theta d theta

Vamos chamar u = 2 theta , daí, teremos de encontrar um d u para poder integrar, né?! Assim:

(d u)/(d theta) = 2 -> d theta = (d u)/(2)

Assim, substituindo na nossa integral:

int sec^2 u (d u)/(2) = (1)/(2) int sec^2 u d u

Já sabemos o resultado dessa integral aí, discutimos ali em cima, olha só:

(1)/(2) int sec^2 u d u = (1)/(2) tan u + C

Passo 3

Show, integramos em relação a u , mas a nossa integral é em relação a theta , agora é só voltar tudo pra theta . Se u = 2 theta , teremos:

int sec^2 2 theta d theta = (1)/(2) tan 2 theta + C

Viu só?! Essa questão era isso ai 😉

Resposta

int sec^2 2 theta d theta = (1)/(2) tan 2 theta + C

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