Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

1. a n = 1 + - 1 n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, notamos que o n-ésimo membro da sequência depende da seleção de n .

Se n é par, então a expressão - 1 n é igual a 1 e o termo a n é dado por

a n = 1 + 1 n

Já no caso do n ser ímpar, a expressão - 1 n é igual a - 1 , e a n é dada por

a n = 1 - 1 n

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Mas o que acontece para o n-ésimo termo de a n quando n tende para infinito?

Passo 2

Observe como a n depende da expressão 1 n porque 1 é permanentemente fixo, não importa o número que você considere para n .

Quando n vai para o infinito, então a expressão 1 n ​ vai para 0 porque o denominador é fixo e o numerador fica cada vez maior, ou seja,

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Como

lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

Então, de acordo com a Regra da Soma para limites e a Regra da Diferença para limites, vale:

n   p a r :   lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 + 0 = 1

n   í m p a r : lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 - lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 - 0 = 1  

Como a n vai para 1 quando n se aproxima do infinito, independentemente de n ser par ou ímpar, concluímos que a sequência { a n } é convergente.

O limite da sequência { a n } é um único número finito igual a 1 e o escrevemos como:

lim n → ∞ ⁡ a n = 1

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é onvergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 1 ∞ k 2 k 2 - 2 k + 5
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ n = 1 ∞ 3 n + 1 4 - n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 n e n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ n = 1 ∞ [ - 0,2 n + 0,6 n - 1 ]
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1