Enunciado

Determine se a série é onvergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ k = 1 ∞ k 2 k 2 - 2 k + 5

Passo 1

Pessoal, a teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente!. Show, vamos dar uma olhada na série que nos foi dada:

lim k → ∞ ⁡ k 2 k 2 - 2 k + 5

Passo 2

Vamos resolver o limite? A primeira coisa que podemos fazer e dividir o numerador e o denominador por k 2 , pra facilitar as nossas contas e nos livrarmos de resultados indesejáveis. Assim,

lim k → ∞ ⁡ 1 1 - 2 / k   + 5 / k 2

O que nos leva a ter:

lim k → ∞ ⁡ 1 1 - 2 / k   + 5 / k 2 = 1

Como o nosso resultado é diferente de zero, temos que a série em questão é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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