Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

7. a n = ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, notamos que a expressão ln ⁡ n 2 pode ser escrita como 2 ln ⁡ n porque n é um número natural (portanto o logaritmo está bem definido). Ao escrever logaritmos de uma maneira diferente, usamos a seguinte regra:

log X ⁡ A r = r ∙ log X ⁡ A

Ou seja, o domínio dos logaritmos são todos os números reais positivos. Se tivéssemos um exemplo de

ln ⁡ 4 = ln ⁡ - 2 2

Então não devemos diminuir a potência antes do logaritmo porque, em −2, o logaritmo não está bem definido. Portanto, podemos escrever a n como:

a n = 2 ln ⁡ n n

Passo 2

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .

Para concluir o que acontece com o enésimo termo a n quando n tende ao infinito, vamos relembrar a teoria de que n cresce muito mais rápido que ln ⁡ n . Portanto, a n vai para 0 quando n vai para o infinito. Poderíamos ter chegado a essa conclusão usando o limite que aparece frequentemente:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = 0   2

Usando o limite (2), concluímos que quando n se aproxima do infinito que a n = 2 ln ⁡ n n tende para 0 .

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ n n = 2 lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = 2 ∙ 0 = 0

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = 0

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