Enunciado

Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.

92. a 1 = - 1 ,   a n + 1 = a n   +   6 a n   +   2

Passo 1

E aí, pessoal! Como é que vai? Vamos partir para mais uma resolução? Vamos!

Nessa questão, o enunciado pede pra gente assumir que a sequência converge, então só precisamos encontrar o limite da sequência. Para começar, vamos calcular os primeiros termos da sequência:

  a 2 = a 1   +   6 a 1   +   2 = - 1   +   6 - 1   +   2 = 5 1 = 5

  a 3 = a 2   +   6 a 2   +   2 = 5   +   6 5   +   2 = 11 7 ≈ 1,57

  a 4 = a 3   +   6 a 3   +   2 = 11 7   +   6   11 7 +   2 = 11   +   42 7     11   +   14 7 = 11   +   42 11   +   14 = 53 25 ≈ 2,12

  a 5 = a 4   +   6 a 4   +   2 = 53 25   +   6   53 25   +   2 = 53   +   150 53   +   50 = 203 103 ≈ 1,97

Aparentemente, a sequência está se aproximando do número 2 . Fica ligado no próximo passo que a gente vai verificar isso.

Passo 2

Como nós temos que assumir que a sequência converge para algum valor

l i m n → ∞ a n = L ,

nós podemos tomar esse limite em ambos os lados da relação de recursividade, já que também temos

l i m n → ∞ a n + 1 = L

Então, a gente fica mais ou menos com isso:

l i m n → ∞ a n + 1 = l i m n → ∞ a n   +   6 a n   +   2 = l i m n → ∞ a n   +   6 l i m n → ∞ a n   +   2

⇒ L = L   +   6 L   +   2

Passo 3

Por último, só precisamos resolver a equação do passo anterior:

L = L +   6 L   +   2 ⇒ L ( L + 2 ) = L + 6

⇒ L 2 + 2 L = L + 6

⇒ L 2 + L - 6 = 0

⇒ ( L - 2 ) ( L + 3 ) = 0

Então podemos ter L = 2 ou L = - 3 . Nós sabemos que L = 2 é o valor correto, mas para provar isso nós precisamos notar o seguinte:

a n   +   2 < a n   +   6 ⇒ 1 < a n   +   6 a n   +   2

Isso já elimina a opção L = - 3 , ou seja, a sequência realmente converge para 2 .

Resposta

2

Exercícios de Livros Relacionados

Sabe-se que a sequência 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , é convergente. Calcule seu limite.
Sejam f uma função, p um número real e suponha que existam duas sequências a n e b n convergindo a p , com a n e b n pertencentes a D f para todo n , tais que lim n → + ∞ ⁡ f a n = L E lim n → + ∞ ⁡ f
Seja a sequência de termo geral a n , com a n0 para todo natural n . Sabe-se que lim n → + ∞ ⁡ a n = a , a real, e que a n + 1 = 1 1 + a n para todo n . Calcule a .
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.15. - 3 ,2 ,- 4 3 , 8 9 ,- 16 27 …
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.10. a 1 = 6 ,a n + 1 = a n n