Enunciado

Sabe-se que a sequência 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , é convergente. Calcule seu limite.

Passo 1

Nesse caso, temos uma relação de cada termo com o seu consecutivo, pois temos que:

a 2 = 2 + 2 = 2 + a 1

a 3 = 2 + 2 + 2 = 2 + a 2

E de modo geral:

a n + 1 = 2 + a n

Se a sequência converge para um valor, devemos achar esse valor.

Passo 2

Vamos tomar lim n → + ∞ ⁡ a n = a e devemos achar a .

Se lim n → + ∞ ⁡ a n = a , podemos tomar lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 = a

Então:

lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → + ∞ ⁡ 2 + a n

a = 2 + a

a 2 = 2 + a

a 2 - a - 2 = 0

a = 1 ± 1 - 4 - 2 2 = 1 ± 3 2

a = 2 ou a = - 1

Como temos uma soma de infinitos termos positivos, o valor que essa somava vai convergir deve ser positivo. Logo, a = 2

Resposta

a = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.30. a n = 4 n 1 + 9 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.40. a n = tan - 1 ⁡ n n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.37. a n = 2 n - 1 ! 2 n + 1 !
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.32. a n = cos ⁡ n π n + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.28. a n = 3 n n + 2