Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 36
A função de Bessel de ordem 1 é definida por
- Mostre que satisfaz a equação diferencial
- Mostre que
Passo 1
(a) Temos a função
Para mostrar isso vamos ter que derivar a função duas vezes
Substituindo na equação
Passo 2
Agora essa parte não é muito legal, vamos ter que colocar em evidencia para potencias iguais e tentar achar um padrão que se repete, é um trabalho chatinho mas fé que a gente chega no final.
O primeiro termo de cara já zera, agora temos que provar que os outros também zeram. Olhando para
Somando os temos com mesmo denominador
Olhando para
Podemos substituir
Olhando agora para
Podemos substituir
De fato todos os coeficientes estão zerando e se continuarmos vamos ver que de fato a função de Bessel de ordem 1 é solução da equação
Passo 3
(b) Derivando
Se reindexarmos substituindo
Separando em
Se tirarmo um menos do
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)