Enunciado

Siga as instruções do Exercício 17 para os segmentos de curva y = t g   x   d e   x = 0   a t é   x = π 3 e para o segmento y = a r c t g   x de x = 0 até x = 3 .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar dando uma olhada nos gráficos:

Belezinha! Aqui tá parecendo muito que são iguais né? Vamos ver isso...

Passo 2

Vamos montar as integrais de comprimento das duas. A primeira fica:

y ' = sec 2 ⁡ x

L 1 = ∫ 0 π 3 1 + sec 2 ⁡ x 2   d x

Beleza, vamos ver a segunda agora...

Passo 3

A segunda é:

y ' = 1 1 + x 2

∫ 0 3 1 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + x 2 2 + 1 1 + x 2 2   d x

∫ 0 3 1 + x 2 2 + 1 1 + x 2   d x

Passo 4

Vamos agora mostrar que as duas integrais são iguais:

Vamos fazer na primeira a substituição:

t = t g   x

Teremos: d t = sec 2 ⁡ x   d x → d t sec 2 ⁡ x = d x .

E aí os limites de integração viram: t g   0 = 0     e   t g π 3 = 3 .

E como t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x , teremos a integral:

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2   d t 1 + t 2

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2   d t

Que é igualzinha a outra integral, só mudando a variável, ou seja, são iguais!

Passo 5

Vamos calcular o comprimento agora usando um programinha top pra calcular essa integral:

∫ 0 3 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2   d t ≈ 2,057

E pronto!

Resposta

L ≈ 2,057

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta de y = 5 x entre 0,0e( 1,5 ) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando:Fórmula (4)Fórmula (5)
Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta de y = 2 x entre 1,2 e( 2,4 ) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado usando:Fórmula (4)Fórmula (5
A aproximação L ≈ ∑ k = 1 n Δ x k 2 + f x k - f x k - 1 2 do comprimento de arco não está dada como uma soma de Riemann.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.O gráfico de y = 1 - x 2 é uma curva lisa em - 1,1 .
Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados. 24 x y = y 4 + 48d ey = 2a t éy = 4 é