Enunciado

Um copo com formato cônico é feito de um pedaço circular de papel de raio R cortando fora um setor e juntando os lados C A e C B . Encontre a capacidade máxima de tal copo.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a capacidade máxima de um copo, sabendo que ele foi feito em formato cônico, de um pedaço circular de papel, cortando fora um setor e juntando os lados C A e C B .

Esboçando a figura em três dimensões, teríamos isso aqui:

Como nós queremos saber a capacidade máxima desse cone, vamos usar a fórmula do volume do cone:

V = π r 2 h 3

Depois vamos usar o triângulo retângulo formado na figura para isolar uma das variáveis e substituir na equação do volume V . Assim, teremos V dependendo apenas de uma das variáveis e poderemos encontrar os pontos de máximo da função.

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado pede a capacidade máxima, ou seja, o volume, que tem a seguinte fórmula:

V = π r 2 h 3

Essa fórmula está dependendo de duas variáveis, então, podemos usar o triângulo retângulo formado na figura acima para isolar uma delas:

R 2 = r 2 + h 2

r 2 = R 2 - h 2

Substituindo em V , temos:

V = π R 2 - h 2 h 3

V = π 3 ( R 2 h - h 3 )

Passo 3

Agora a gente já pode maximizar a fórmula!! Aplicando a derivada:

V ' h = π 3 R 2 - 3 h 2

E igualando o resultado a zero:

π 3 R 2 - 3 h 2 = 0

π 3 R 2 = π 3 3 h 2

Isolando h :

h 2 = R 2 3

h = R 3

Já encontramos o valor de h , que é o único ponto crítico da função e nosso ponto de máximo, agora é só substituir em V :

V R 3 = π 3 R 2 R 3 - R 3 3

V R 3 = 2 π R 3 9 3

E encontramos a capacidade máxima do copo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 2 π R 3 9 3

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