Enunciado

50. Trajetória de aterrissagem de um avião. Um avião que voa à altitude H começa a descer rumo à pista de pouso de um aeroporto que está a uma distância terrestre horizontal L do avião, como mostra a figura a seguir. Suponha que a trajetória descendente do avião seja o gráfico de uma função polinomial cúbica y = a x 3 + b x 2 + c x + d , onde y - L = H e y 0 = 0 .

a. Quando vale d y d x quando x = 0 ?

b. Quando vale d y d x quando x = - L ?

c. Use os valores de d y d x quando x = 0 e x = - L , juntamente com y 0 = 0 e y - L = H para demonstrar que:

y x = H 2 x L 3 + 3 x L 2

Passo 1

a) A questão nos diz que y 0 = 0 , sendo assim, temos que:

y ' 0 = 0

Passo 2

b) A questão nos diz que y - L = H , no qual H é uma constante. Sendo assim, temos que:

y ' - L = 0

Passo 3

c) Se tomarmos a equação da trajetória do avião, teremos:

y x = a x 3 + b x 2 + c x + d

A questão nos diz que y 0 = 0 . Para isso acontecer, isso implica que d = 0 , certo? Sendo assim, nossa equação se torna:

y x = a x 3 + b x 2 + c x

No entanto, concluímos uma outra coisa: que y ' 0 = 0 . Dessa forma, teremos:

y ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Para isso ocorrer, isso implica que c = 0 , certo? Dessa forma, nossa equação se torna:

y x = a x 3 + b x ²

Passo 4

Agora que temos essa expressão bem estabelecida, vamos utilizar os dados que a questão nos fornece, ok? Antes disso, vamos derivar a nossa função porque uma hora iremos precisar. Se derivarmos, teremos:

y ' x = 3 a x 2 + 2 b x

Como o enunciado nos diz que y - L = H , teremos:

y - L = a - L 3 + b - L 2 = - a L 3 + b L 2 = H

Ademais, na letra b) nós concluímos que y ' - L = 0 . Dessa forma, teremos:

y ' - L = 3 a - L 2 + 2 b - L = 3 a L 2 - 2 b L = 0

Dessa equação nós podemos tirar o valor de b , certo? Isolando-o, teremos:

3 a L 2 = 2 b L

∴ b = 3 a L 2

Passo 5

Agora que descobrimos o valor de b , vamos substituir o valor encontrado lá na equação y - L = - a L 3 + b L 2 = H , se liga:

- a L 3 + 3 a L 2 . L 2 = H

- a L 3 + 3 2 a L 3 = H

H = 1 2 a L 3 ⇒ a = 2 H L 3

Agora que descobrimos os valores de a e b , vamos substituir os valores encontrados lá na expressão de y ( x ) do passo 3, saca só:

y x = a x 3 + b x ²

y x = 2 H L 3 x 3 + 3 L 2 . 2 H L 3 x ²

∴ y x = H 2 x L 3 + 3 x L 2

C.Q.D.

Resposta

a) y ' 0 = 0

b) y ' - L = 0

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