Ache o comprimento do arco da parábola y^2 = 6x de x = 6 a x = 12 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y 2 = 6 x entre x = 6 e x = 12 . Note que podemos escrever x como função de y :

x = 1 6 y 2

Neste caso, o comprimento da curva é dado por

L = ∫ 6 6 2 1 + x ' 2   d y

Note que quando x = 6 , temos que y = 6 e para x = 12 , temos y = 6 2 , daí os novos limites de integração!

Como x ' = 1 3 y , temos que

L = ∫ 6 6 2 1 + 1 9 y 2   d y

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica:

y = 3 tan ⁡ t ⇒ 1 + 1 9 y 2 = 1 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t = sec ⁡ t

Além disso,

d y = 3 sec 2 ⁡ t   d t

Assim,

L = 3 ∫ a b sec 3 ⁡ t   d t ,

onde

tan ⁡ a = 2     e     tan ⁡ b = 2 2

Passo 3

A integral da secante ao cubo é

∫ sec 3 ⁡ t   d t = 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

Assim,

L = 3 2 sec ⁡ b tan ⁡ b - sec ⁡ a tan ⁡ a + 3 2 ln ⁡ sec ⁡ b + tan ⁡ b sec ⁡ a + tan ⁡ a

Já sabemos que tan ⁡ a = 2 e tan ⁡ b = 2 2 . Como sec 2 ⁡ t = 1 + tan 2 ⁡ t , temos que

sec ⁡ a = 5       e       sec ⁡ b = 3

Assim,

L = 3 2 6 2 - 2 5 + 3 2 ln ⁡ 3 + 2 2 5 + 2

Portanto,

L = 9 2 - 3 5 + 3 2 ln ⁡ 3 + 2 2 5 + 2

Resposta

9 2 - 3 5 + 3 2 ln ⁡ 3 + 2 2 5 + 2

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