Enunciado

Ache o comprimento do arco da parábola y^2 = 6 x de x = 6 a x = 12 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y^2 = 6 x entre x = 6 e x = 12 . Note que podemos escrever x como função de y :

x = (1)/(6) y^2

Neste caso, o comprimento da curva é dado por

L = int_6^(6 sqrt(2)) sqrt(1 + (x^')^2) d y

Note que quando x = 6 , temos que y = 6 e para x = 12 , temos y = 6 sqrt(2) , daí os novos limites de integração!

Como x^' = (1)/(3) y , temos que

L = int_6^(6 sqrt(2)) sqrt(1 + (1)/(9) y^2) d y

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica:

y = 3 tan t => sqrt(1 + (1)/(9) y^2) = sqrt(1 + tan^2 t) = sqrt(sec^2 t) = sec t

Além disso,

d y = 3 sec^2 t d t

Assim,

L = 3 int_a^b sec^3 t d t ,

onde

tan a = 2 e tan b = 2 sqrt(2)

Passo 3

A integral da secante ao cubo é

int sec^3 t d t = (1)/(2) sec t tan t + (1)/(2) ln |sec t + tan t|

Assim,

L = (3)/(2) (sec b tan b - sec a tan a) + (3)/(2) ln |(sec b + tan b)/(sec a + tan a)|

Já sabemos que tan a = 2 e tan b = 2 sqrt(2) . Como sec^2 t = 1 + tan^2 t , temos que

sec a = sqrt(5) e sec b = 3

Assim,

L = (3)/(2) (6 sqrt(2) - 2 sqrt(5)) + (3)/(2) ln |(3 + 2 sqrt(2))/(sqrt(5) + 2)|

Portanto,

L = 9 sqrt(2) - 3 sqrt(5) + (3)/(2) ln |(3 + 2 sqrt(2))/(sqrt(5) + 2)|

Resposta

9 sqrt(2) - 3 sqrt(5) + (3)/(2) ln |(3 + 2 sqrt(2))/(sqrt(5) + 2)|

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