Primeiramente descobrir a função:
 A x = π 4 d i â m e t r o 2 = π 4 2 cos  x - 2   s e n   x 2  
 
 
  
 
 
 
 
 
â 
 
  
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 A x = π 4 4 cos 2  x - 8 cos  x   s e n   x + 4 s e n 2 x  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
  
  
 
 
Utilizando a identidade trigonométrica:
 cos 2  x + s e n 2 x = 1  
 
 
 
  
  
 
 
Teremos assim:
 cos 2  x = 1 - s e n 2 x  
 
 
 
  
  
 
 
 s e n 2 x = 1 - cos 2  x  
 
 
  
 
  
 
 
Deste modo:
 A x = π 4 ⋅ 4 s e n 2 x - 2 cos  x   s e n   x + cos 2  x  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 A x = π s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2  x  
 
 
  
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
Temos: 
 a = π 4 ,   b = 5 π 4  
 
 
 
 
 
  
  
 
 
 
Calculando volume temos:
 V =   ∫ π / 4 5 π / 4 A x d x = ∫ π 4 5 π 4 π s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2  x d x = π ∫ π 4 5 π 4 s e n 2 x - 2 c o s x ⋅ s e n x + cos 2  x   d x  
 
 
 
  
  
 
  
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
  
  
 
 
 
 
 
 V = π ∫ π 4 5 π 4 s e n 2 x - 2 cos  x ⋅ s e n x + cos 2  x   d x  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
Utilizando: 
 s e n 2 x + cos 2  x = 1  
 
 
  
 
 
  
 
 
  e 
 2 s e n x ⋅ cos  x = s e n 2 ⋅ x  
 
 
  
 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 V = π ∫ π 4 5 π 4 1 - s e n 2 x d x  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
Utilizando a substituição 
 u d u 
 
  
 
 u = 2 x 
 
  
 
 d u = 2   d x 
 
  
 
 d x = 1 2 d u 
 
 
 
 
  
 
Assim:
 V = π ∫ π 4 5 π 4 1   d x - π ∫ π 4 5 π 4 s e n u 2 d u =   π x - cos  u 2 π 4 5 π 4  
 
 
 
  
  
 
 
 
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
  
  
 
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 
 
Substituindo 
 u = 2 x 
 
  
 
 V = π x - cos  2 x 2 π 4 5 π 4