Enunciado

Se ∑ a n for convergente e ∑ b n , divergente, mostre que a série ∑ a n + b n é divergente. [Sugestão: Argumente por contradição.]

Passo 1

Então, galera...Eu não sei vocês, mas pra mim parece meio óbvio o que devemos provar. Se eu somar algo que vai para o infinito (e além) com algo que tende a uma constante, obviamente essa soma também irá para o infinito, certo?

Beleza...Mas....Como provar isso? Como usar a tal sugestão de argumentar por contradição?

Passo 2

Bom...Sabemos que, se 2 séries (Got e TBBT) ∑ α n e ∑ β n são convergentes, então ∑ α n - β n também será. E é aí que aproveitamos a perspicácia do nosso mascote Dexter...

Vamos fazer o seguinte....Já sabemos que ∑ a n é uma série convergente. Vamos assumir, por um instante, que ∑ a n + b n seja uma série convergente. Entãããooo, pelo que acabamos de dizer:

∑ a n + b n ⏟ c o n v e r g e n t e - a n ⏟ c o n v e r g e n t e = ∑ b n ⏟ D I V E R G E N T E ‼ !  

Como acabamos de perceber, provamos, por absurdo que é impossível que ∑ a n + b n seja uma série convergente, sendo portanto, uma série divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-2421. ∑ n = 1 ∞ 9 ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )
Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-2422. ∑ n = 3 ∞ - 8 ( 4 n - 3 ) ( 4 n + 1 )
Utilize o resultado do Exercício 91 para mostrar que 1 + ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n diverge.
Suponha que a 1 ,a 2 ,a 3 ,. . . ,a n são números positivos satisfazendo as seguintes condições: i) a 1 ≥a 2 ≥a 3 ≥ … ; ii) a série a 2 + a 4 + a 8 + a 16 + … diverge. Mostre que a série a 1 1 + a 2 2