Enunciado

O sono REM é a fase do sono quando os sonhos estão mais ativos. Em um estudo, a quantidade de sono REM durante as primeiro 4 horas de sono foi descrita por uma variável aleatória T com função de densidade de probabilidade de:

f t 1 1600 t     s e   0 ≤ t ≤ 40 1 20 - 1 1600 t   s e   40 ≤ t ≤ 80 0   c a s o   c o n t r á r i o

Onde t é mensurado em minutos.

  1. Qual é a probabilidade que a quantidade de sono REM esteja entre 30 e 60 minutos?
  2. Encontre a média da quantidade de sono REM.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função e condição para o nosso problema:

f t 1 1600 t     s e   0 ≤ t ≤ 40 1 20 - 1 1600 t   s e   40 ≤ t ≤ 80 0   c a s o   c o n t r á r i o

Aplicando a função f à condição de densidade de probabilidade, temos:

P 30 < T < 60 = ∫ 30 60 f t d t

Como a função é respeitada em intervalos distintos, podemos separá-la:

∫ 30 60 f t d t = ∫ 30 40 f t d t + ∫ 40 6 0 f t d t

Passo 2

Substituindo, temos:

∫ 30 60 f t d t = ∫ 30 40 1 1600 t     d t + ∫ 40 60 1 20 - 1 1600 t d t

Resolvendo, temos que:

∫ 30 60 f t d t = 1 1600 t 2 2 30 40 + 1 20 t - 1 1600 t 2 2 40 60

= 1 1600 40 2 2 - 1 1600 30 2 2 + 1 20 60 - 1 1600 60 2 2 - 1 20 40 - 1 1600 40 2 2

Resolvendo esta expressão encontramos:

∫ 30 60 f t d t = 1 1600 350 + 1 - 1 1600 1000

∫ 30 60 f t d t = 0,59375

Portanto, a probabilidade de que a quantidade de sono Rem esteja entre 30 e 60 minutos é de 59,4 % .

Passo 3

Item b:

Agora, temos como objetivo encontrar a quantidade média de sono REM.

A quantidade total de sono REM é de 80 minutos. Então a quantidade média é de:

80 2 = 40

A quantidade média de sono REM é de 40 minutos

Resposta

a )   43,92 %

b ) 72,5 %

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