Enunciado

Engenheiros da Petrobras estimaram que um poço de petróleo pode produzir óleo a uma taxa de: P t = 80 e - 0,04 t - 80 e - 0,1 t milhares de barris por mês, onde t representa o tempo, medido em meses, a partir do momento em que foi feita a estimativa. Determinar o potencial de produção de óleo desse poço a partir dessa data.

Passo 1

Além das diversas funcionalidades das integrais impróprias, elas também poder ser utilizadas para estimar a quantidade produzida ou o potencial de produção de óleo ou gás que um poço possui a partir de uma taxa de produção.

Dessa forma, assumindo que a operação de produção de óleo seja feita continuamente por muito tempo, pode-se aplicar a integral em função do tempo com esse intervalo de tempo.

Passo 2

Logo, a integral imprópria para a taxa de produção dada indicará o potencial de produção:

p o t e n c i a l = ∫ 0 ∞ P t   d t = ∫ 0 ∞ ( 80 e - 0,04 t - 80 e - 0,1 t )   d t

Como uma integral simboliza a área de uma região e não é possível definir uma área “infinita”, tem-se que:

p o t = ∫ 0 ∞ ( 80 e - 0,04 t - 80 e - 0,1 t )   d t = 80 lim T → ∞ ⁡ ∫ 0 T ( e - 0,04 t - e - 0,1 t )   d t

p o t = 80 lim T → ∞ ⁡ - 1 0,04 e - 0,04 t + 1 0,1 e - 0,1 t | T 0

Substituindo os limites de integração:

p o t = 80 lim T → ∞ ⁡ - 25 e - 0,04 T + 10 e - 0,1 T - - 25 e - 0,04 0 + 10 e - 0,1 0

p o t = 80 25 e 0 - 10 e 0 = 80 15

p o t = 1200

Resposta

O poço de petróleo tem potencial de produzir 1200 milhares de barris de óleo.

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