Enunciado

A superfície de um tanque é igual a de um paraboloide de revolução obtido girando-se a parábola y = x ² em torno do eixo y . O vértice da parábola está na base do tanque, que tem 3,6   m de altura. Se o tanque estiver cheio com água até 2   m de profundidade, ache o trabalho realizado para bombear a água para fora do tanque, pela borda de cima. Tome a aceleração da gravidade igual a 10   m / s ² .

Passo 1

Então galera, para esse paraboloide gerado pela revolução da parábola y = x ² , nós podemos calcular o trabalho utilizando o método do disco, uma vez que a função toca o eixo de rotação, não é mesmo? Sabemos que a altura desse paraboloide é 3,6   m e que o tanque em um dia qualquer está com água até 2   m de profundidade. Como o eixo de rotação é em y , então nossas variáveis também têm que ser em y , logo:

y = x 2 ⇒ x = y

Se tomarmos um disco qualquer dentro desse paraboloide com largura d y e raio x , teremos:

W = w ∫ 0 2 π R x 2 d x

O deslocamento necessário para elevar esse disco arbitrário até a altura máxima, ou seja, a borda de cima do tanque, é ( 3,6 - y ) . Logo:

W = w π ∫ 0 2 y 2 . 3,6 - y d y

W = w π ∫ 0 2 3,6 y - y 2 d y

Resolvendo a integral, teremos:

W = w π 3,6 2 y 2 - y 3 3 2 0

∴ W = 4,5   w π

Resposta

W = 4,5   w π

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