Enunciado

As superfícies planas mostradas estão imersas verticalmente em água. Encontre a força do fluido sobre cada superfície.

Passo 1

Como temos uma placa submersa na vertical, podemos usar essa relação:

F = ∫ a b ρ h x w ( x ) d x

Onde ρ é o peso específico da água. Precisamos usar o que está na nossa tabelinha e está nas mesmas unidades do enunciado:

ρ = 62,4   l b / p é 3

E w ( x ) é a largura da placa e h ( x ) a profundidade de cada ponto x . (sendo a e b os limites da placa nessa profundidade).

E sendo o eixo x , um eixo vertical para baixo, com a origem ( x = 0 ) na superfície do líquido.

Vamos começar!

Passo 2

Para achar w ( x ) , vamos ter que usar nossa esperteza. Olha essa figura:

Podemos usar semelhança de triângulos e escrever que:

a x 4 = b 8

Como b = 12 - x :

a x 4 = 12 - x 8 ∴ a x = 12 - x 2

Mas repara que a gente tem esse mesmo triângulo do outro lado, e ainda tem uma largura constante de 16   p é s no meio. Então podemos escrever:

w x = 2 a x + 16 = 12 - x + 16 = 28 - x

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de x . Então, podemos escrever:

h x = x

E a placa começa em a = x = 4 e termina em b = x = 1 2 .

Com tudo isso, nossa integral fica assim:

F = ∫ 4 1 2 62,4 ⋅ x ⋅ 28 - x d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral:

F = 62,4 ∫ 4 1 2   28 x - x 2 d x = 62,4 14 ⋅ 1 2 2 - 1 2 3 3 - 14 ⋅ 4 2 + 4 3 3

F = 77   209,6   l b

Resposta

F = 77   209,6   l b

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Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ 0 π s e n x d x ≥ 0
Se ∫ 0 π 2 9 cos 2 ⁡ t d t= 9 π 4 Calcular ∫ 0 π 2 - cos 2 ⁡ θ d θ