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Suponha que f   admite derivada de 3º ordem contínua no intervalo aberto I e seja p ∈   I . Prove que se f ' p = f ' ' p = f ' ' ' p = 0   e f 4 p ≠ 0 , então p será ponto de máximo local se f 4 p < 0   e será ponto de mínimo local se f 4 p > 0   .

Passo 1

Essa questão pode se resolvida de modo parecido com o exércio 2. Nesse caso, vamos chamar f ' ' p = g ( p ) . Dessa forma toda análise feita no intem anterior se mantem válida e portanto, p é um ponto de inflexão horizontal em f ’ ( p ) . Isso implica que se se f 4 p < 0   f ’ ( p ) é um ponto de inflexão horizontal que esta decrescendo, portanto assumindo um valor muito pequeno k   >   0   , temos que:

f ' p + k < 0 e f ' p - k > 0

Dessa forma, a função f tem o compartamento, nas proximidades de p , de para valores menores de p ter uma inclinação da reta positiva, chegando em p tem inclinação horizontal e depois uma inclinação negativa. Esse é o comportamento de um ponto de máximo local, portanto se f 4 p < 0   , f é um ponto de máximo local.

Passo 2

Agora, quando temos f 4 p > 0 , f ' p é um ponto de inflexão horizontal que esta crescendo. Portanto temos o seguinte:

f ' p + k > 0 e f ' p - k < 0

Assim, a função f tem a inclinação negativa, para pontos menores que p , zera quando chega em p e para pontos maiores que p tem inclinação positiva. Dessa forma, quando f 4 p > 0 , f ( p ) é um ponto de mínimo local.

Resposta

p é um ponto de máximo local se f 4 p < 0   e ponto de mínimo local se f 4 p > 0   .

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