Enunciado

Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distancia da base deve ser feito esse corte, para que o cone reto de base na seção determinada, e de vértice no centro da base do cone dado tenha volume máximo?

Passo 1

Inicialmente, vamos supor que essa distância é h e fazer um esboço do que está acontecendo, olha só:

O cone que deve ter altura máxima é esse no meio do triângulo grande, sacou?!

Repare que o triangulo retângulo pequeno, é semelhante ao triangulo retângulo grande. Assim,

h r = H R

Logo,

h = H r R

Passo 2

Para acharmos o maior cilindro, vamos expressar o volume e maximizar. Vem comigo!

V = A b a s e × h

Logo,

V = π R - r 2 h

Substituindo a expressão de h que encontramos no Passo 1:

V = π R - r 2 H r R

Assim,

V ' r = H π R R - r 2 r

Para maximizar, vamos derivar a expressão de V e igualar a zero. Usando a regra do produto:

V ' r =   H π R 2 R - r × - 1 × r + R - r 2

Igualando a zero:

H π R - 2 r R - r + R - r 2 = 0

Portanto,

R - r 2 = 2 r R - r

Como r ≠ R :

R - r = 2 r → R = 3 r

Passo 3

Agora que já achamos a relação entre os raios, vamos usar a relação do Passo 1 para saber a altura h .

h = H r R

Como R = 3 r :

h = H r 3 r → h = 1 3 H

Com isso podemos ver que o plano deve cortar o cone a um terço da altura em relação a base.

Resposta

A um terço da altura em relação a base.

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