Enunciado

Suponha que uma bala seja atirada verticalmente para baixo pelo avião mencionado no exercício 56, com uma velocidade na boca da arma de 750 m/s. Desprezando a resistência do ar, quanto tempo levará para a bala atingir a água?

Dado do exercício 56: o avião está a 9.000 m do nível do mar.

Passo 1

Sabendo que a aceleração da gravidade é g e sendo s ( t ) a altura da bala em relação ao solo, temos então que s ' ' t = - g . Devemos então integrar duas vezes essa aceleração para chegarmos à função s ( t ) .

Passo 2

Integrando a primeira vez, temos:

∫ - g d t = - g t + C

Temos então a expressão de s ' t = - g t + C . Mas esse é o valor da velocidade no tempo t , que é -750 m/s para t = 0 pois a bala sai com essa velocidade para baixo. Então:

s ' 0 = - 750 ⇒ g ⋅ 0 + C = - 750 ⇒ C = - 750 ⇒ s ' t = g t - 750

Passo 3

Agora, integramos novamente:

s t = ∫ ( - g t - 750 )   d t = - g t 2 2 - 750 t + C 2

Mas sabemos que s 0 = 9000 , então

- g ⋅ 0 2 - 750 ⋅ 0 + C 2 = 9000 ⇒ C 2 = 9000 ⇒ s t = - g t 2 2 - 750 t + 9000

Para s = 0 , no nível do mar, achamos o valor de t da queda:

0 = - g t 2 2 - 750 t + 9000 ⇒ g t 2 + 1500 t - 18000 = 0

Basta agora resolver a equação de segundo grau.

Passo 4

Resolvendo a equação:

Δ = 1500 2 - 4 ⋅ g ⋅ - 18000 = 2250000 + 72000 g

t = - 1500 + 2250000 + 72000 g 2 g = 30 625 + 20 g - 750 g

Resposta

t = 30 625 + 20 g - 750 g  

Se g = 10 m/s²:

t = 30 625 + 20 g - 750 10 = 3 825 - 75 = 11,17   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Problema 21, suponha que a quantidade de material esquecida é proporcional à quantidade memorizada no instante t . Qual é a equação diferencial para A quando o esquecimento é levado em conta?
Em teoria de aprendizagem, a taxa à qual um assunto é memorizado é proporcional à quantidade ainda a ser memorizada. Se M denota a quantidade total a ser memorizada e A ( t ) a quantidade memorizada n
Suponha uma abertura passando pelo centro da terra. Um corpo de massa m é atirado na abertura. Denote por r a distância do centro da terra à massa no instante t . Veja a figura 1.25.a) Sejam M a massa
Um peso de 96n e w t o n s desliza por um plano inclinado, fazendo um ângulo de 30 ° com a horizontal. Se o coeficiente de atrito é μ , determine a equação diferencial para a velocidade v ( t ) do pes
O tanque cônico, mostrado na figura 1.26, derrama água por um orifício no fundo. Se a área da seção transversal do orifício é 1 4 m ² ², encontre a equação diferencial que representa a altura da água