Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 59
Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades e estão relacionadas linearmente, isto é, , pelo menos aproximadamente, para alguns valores de e . O cientista realiza um experimento e coleta dados na forma dos pontos , ... e depois plota esses pontos. Os pontos não estão exatamente em uma linha reta; portanto, o cientista deseja induzir constantes e para que a linha "seja" os pontos da melhor forma possível (veja a figura).
Seja o desvio vertical do ponto da linha. O método dos mínimos quadrados determina e de modo a minimizar em , a soma dos quadrados desses desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a linha de melhor é obtida quando
Passo 1
Bom galera, para encontrarmos o ponto critico vamos pegar a derivada parcial:
Igualamos a :
Que pode ser escrito:
Que é igual ao da questão:
Passo 2
Bom, fazendo o mesmo em a gente vai encontrar:
Passo 3
Por fim, a gente pode montar um sisteminha:
Com isso nós podemos isolar:
E:
Pronto, é isso, nem é tão difícil assim né?
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)