Enunciado

Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estão relacionadas linearmente, isto é, y = m x + b , pelo menos aproximadamente, para alguns valores de m e b . O cientista realiza um experimento e coleta dados na forma dos pontos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ... ( x n , y n ) e depois plota esses pontos. Os pontos não estão exatamente em uma linha reta; portanto, o cientista deseja induzir constantes m e b para que a linha y = m x + b "seja" os pontos da melhor forma possível (veja a figura).

Seja d i = y i - ( m x i + b ) o desvio vertical do ponto ( x i , y i ) da linha. O método dos mínimos quadrados determina m e b de modo a minimizar em ∑ i - 1 n d i 2 , a soma dos quadrados desses desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a linha de melhor é obtida quando

m ∑ i = 1 n x i + b n = ∑ i = 1 n y i

Passo 1

Bom galera, para encontrarmos o ponto critico vamos pegar a derivada parcial:

∂ L ∂ b = ∑ i = 1 n ∂ ∂ b y i - m x i + b 2

→ ∂ L ∂ b = ∑ i = 1 n 2 y i - m x i + b ( - 1 )

Igualamos a 0 :

∑ i = 1 n 2 y i - m x i + b ( - 1 ) = 0

→ ∑ i = 1 n y i - ∑ i = 1 n m x i - ∑ i = 1 n b = 0

Que pode ser escrito:

- m ∑ i = 1 n x i - b n + ∑ i = 1 n y i = 0

Que é igual ao da questão:

m ∑ i = 1 n x i + b n = ∑ i = 1 n y i

Passo 2

Bom, fazendo o mesmo em ∂ L ∂ m = 0 a gente vai encontrar:

m ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y 1

Passo 3

Por fim, a gente pode montar um sisteminha:

m ∑ i = 1 n x i + b n = ∑ i = 1 n y i m ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y 1

Com isso nós podemos isolar:

m = n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ( ∑ i = 1 n y i ) n ∑ i = 1 n x i 2 - ∑ i = 1 n x i y i 2

E:

b = 1 n ∑ i = 1 n y i - m n ∑ i = 1 n x i

Pronto, é isso, nem é tão difícil assim né?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.