Enunciado

Um modelo para o rendimento Y de uma cultura agrícola em função do nível de nitrogênio N e fósforo P no solo (medido em unidades apropriadas) é

Y = N , P = k N P e - N - P

Passo 1

Bom galera, vamos começar pegando as derivadas parciais:

Y P = k N e - N - P ( 1 - P )

Y N = k P e - N - P ( 1 - N )

Passo 2

Beleza, Então precisamos encontrar os pontos críticos com as derivadas parciais:

Y P = 0 = k N e - N - P ( 1 - P )

Y N = 0 = k P e - N - P ( 1 - N )

Com isso podemos deduzir que:

N = 0 ou e - N - P = 0 ou 1 - P = 0

No caso da exponencial não é possível porque para ela ser 0 , - N - P precisa ser - ∞ , e isso também faz com que N ≠ 0 .

Logo:

P = 1

Do mesmo jeito em:

Y N = 0 = k P e - N - P ( 1 - N )

N = 1

Então nosso ponto critico é:

1,1

Passo 3

Agora a gente faz o teste no ponto critico ( 1,1 ) :

D 1,1 = Y N N 1,1 Y P P 1,1 - Y N P 1,1 2

E considerando que k é uma constante positiva.

Y N N 1,1 = - 1 < 0

Então ( 1,1 ) é um ponto de máximo.

O gráfico fica assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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