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Suponha f x , y diferenciável no aberto A e homogênea de grau λ . Prove que ∂ f ∂ x é homogêna de grau λ - 1 , isto é, que ∂ f ∂ x t x , t y = t λ - 1 ∂ f ∂ x x , y para todo t > 0 , e para todo x , y em A com t x , t y ∈ A .

(Sugestão. Derive em relação a x os dois membros de f t x , t y = t λ f x , y .)

Passo 1

Para provar que ∂ f ∂ x é homogênea de grau λ - 1 , vamos derivar as funções:

∂ f ∂ x t x , t y = ∂ t λ f x , y ∂ x

Aplicando a regra da cadeia:

∂ f ∂ x t x , t y ∙ ∂ t x ∂ x = ∂ t λ f x , y ∂ x

Passo 2

Derivando dos dois lados:

∂ f ∂ x t x , t y ∙ t = t λ ∂ f ∂ x x , y

∂ f ∂ x t x , t y = t λ t ∂ f ∂ x x , y

∂ f ∂ x t x , t y = t λ - 1 ∂ f ∂ x x , y

Fim!!!

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