Enunciado

Suponha que f π 3 = 4 , e f ' π 3 = - 2 , e faça

g x = f x sen ⁡ x

e

h x = cos ⁡ x f x

Encontre (a) g ' π 3 e (b) h ' π 3 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho?

Nesse problema foi dito que f π 3 = 4 e f ' π 3 = - 2 e apartir de

g x = f x sen ⁡ x

h x = cos ⁡ x f x

temos que obter g ' π 3 e h ' π 3 .

Parece complicado?

Em g x podemos perceber que se trata de um produto de funções, então para calcular sua derivada podemos aplicar a regra do produto

f = g · h ,     f ' = g ' · h + g · h '

h x é composta por uma fração de funções de x , então para o calculo da sua derivada podemos aplicar a regra do quociente

f = g h ,     f ' = g ' · h - g · h ' h 2

Veja só!

Passo 2

Primeiro vamos calcular g ' π 3 e como g é um produto, vamos aplicar a regra do produto como vimos no passo 1.

Se g x = f x sen ⁡ x , aplicando a regra do produto, vamos obter

g ' x = f ' x · sen ⁡ x + f x · d sen ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do calculo sabemos

d sen ⁡ x d x = cos ⁡ x

Logo...

g ' x = f ' x · sen ⁡ x + f x · cos ⁡ x

Aplicando o ponto x = π 3

g ' π 3 = f ' π 3 · sen ⁡ π 3 + f π 3 · cos ⁡ π 3

No enunciado foi dito que f π 3 = 4 e f ' π 3 = - 2 , então

g ' π 3 = - 2 · 3 2 + 4 · 1 2

g ' π 3 = 2 - 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular h ' π 3 .

Como h é uma fração, aplicamos a regra do quociente.

Se h x = cos ⁡ x f x , então

h ' x = d cos ⁡ x d x · f x - cos ⁡ x · f ' x f x 2

Pelo teorema fundamental do calculo, temos

d cos ⁡ x d x = - sin ⁡ x

Logo...

h ' x = - sin ⁡ x · f x - cos ⁡ x · f ' x f x 2

Aplicando o ponto x = π 3

h ' π 3 = - sin ⁡ π 3 · f π 3 - cos ⁡ π 3 · f ' π 3 f π 3 2

Novamente, como foi dado no enunciado que f π 3 = 4 e f ' π 3 = - 2 , temos

h ' π 3 = - 3 2 · 4 - 1 2 · - 2 4 2

h ' π 3 = 1 - 2 3 16

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

(a) g ' π 3 = 2 - 3

(b) h ' x = 1 - 2 3 16

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