Enunciado

Neste exercício, estimaremos a taxa segundo a qual a renda pessoal total está subindo na área metropolitana da cidade de Richmond-Petersburg, Virgínia. Em julho de 1999, a população dessa área era de 961.400 , e estava crescendo aproximadamente em 9.200 pessoas por ano. O rendimento anual médio era de $   30.593 per capita, e essa média crescia em torno de $ 1.400 por ano (bem acima da média nacional, de cerca de $ 1.225 anuais). Use a Regra do Produto e os dados aqui fornecidos para estimar a taxa segundo a qual a renda pessoal total estava crescendo em Richmond-Petersburg em julho de 1999. Explique o significado de cada termo na Regra do Produto.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... Queremos estimar a taxa de crescimento da renda pessoal total.

Para isso, o enunciado nos pede para utilizarmos a Regra da Derivada do Produto.

O enunciado nos dá os seguintes dados:

  • A população, em 1999, era de 961.400 ;
  • O rendimento anual médio era de $   30.593 per capita;
  • essa média crescia em torno de $ 1.400 por ano.

Seja P t o número de habitantes em um determinado ano t e M t o rendimento anual médio num ano t .

Então, T t = P t M t será a renda pessoal total dos habitantes no ano t .

A taxa na qual T t está aumentando é dada por sua derivada.

Para isso, precisaremos utilizar a regra do produto.

Sejam f e g duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre as duas funções é dada por:

f * g ' = f g ' + f ' g

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Usando a Regra da Derivada do Produto, temos:

T ' t = P ' t M t + P t M ' t

Logo, para t = 1999 teremos:

T ' 1999 = P ' 1999 M 1999 + P 1999 M ' 1999 =

T ' 1999 = 961.400   p e s s o a s 1.400   d ó l a r e s a n o   + 30.593   d ó l a r e s 9.200   p e s s o a s a n o  

T ' 1999 = 1.627.415.600   d ó l a r e s a n o

Passo 3

Então, a renda pessoal total estava subindo a uma taxa de aproximadamente 1,627 bilhões de dólares por ano em 1999.

O termo P 1999 M ' 1999 ≈ 1,346   b i l h õ e s   d e   d ó l a r e s representa a parcela da taxa de mudança da renda total devido as existentes rendas crescente da população.

Já o termo M 1999 P ' 1999   ≈ 281   m i l h õ e s   d e   d ó l a r e s representa a parcela da taxa de variação do total de renda devido ao aumento da população.

Resposta

T ' 1999 = 1.627.415.600   d ó l a r e s a n o

A renda pessoal total estava subindo a uma taxa de aproximadamente 1,627 bilhões de dólares por ano em 1999.

O termo P 1999 M ' 1999 ≈ 1,346   b i l h õ e s   d e   d ó l a r e s representa a parcela da taxa de mudança da renda total devido as existentes rendas crescente da população.

Já o termo M 1999 P ' 1999   ≈ 281   m i l h õ e s   d e   d ó l a r e s representa a parcela da taxa de variação do total de renda devido ao aumento da população.

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