Enunciado

Suponha que as funções diferenciáveis y = y ( x ) e z = z ( x ) sejam dadas implicitamente pelo sistema

x 2 + z 2 = 1 y 2 + z 2 = 1

a) Expresse d y d x e d z d x em termos de x , y e z .

b) Determine um par de funções y = y ( x ) e z = z x dadas implicitamente pelo sistema.

Passo 1

O problema fornece um sistema que dá y e z implicitamente como função de x . No item (a), devemos achar as derivadas de y e z como função de x . Para isso basta derivar usando a regra da cadeia.

Da primeira equação, tiramos que

2 x + 2 z ⋅ d z d x = 0

Assim, isolando a derivada:

d z d x = - x z

Fazemos a mesma coisa para a segunda equação:

2 y d y d x + 2 z d z d x = 0

Dividindo a equação por 2 e substituindo a expressão encontrada para d z d x :

y d y d x + z ⋅ - x z = 0 ⇒ d y d x = x y

Passo 2

No item (b), devemos encontrar as funções y e z . Note que subtraindo as equações, obtemos

x 2 - y 2 = 0

Assim,

y 2 = x 2

Portanto,

y = ± x

Vamos escolher o sinal positivo (se você preferir, escolha o sinal negativo, a questão pediu um par de funções, mas a resposta não é única). Desta forma, temos que

y = x

Substituindo isso na segunda equação:

x 2 + z 2 = 1 ⇒ z = ± 1 - x 2

Escolhendo o sinal positivo:

z = 1 - x 2

Resposta

a) d y d x = x y e d z d x = - x z

b) y = x e z = 1 - x 2

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