Enunciado

Pode-se garantir que a equação x 3 + 2 x y + y 3 = 8 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso positivo, determinar d y d x .

Passo 1

Bom, pessoal, vamos analisar as hipóteses do teorema da função implícita. Seja F x , y = x 2 + 2 x y + y 3 - 8 . Vamos encontrar as derivadas parciais dessa função:

∂ F ∂ x = 3 x 2 + 2 y

∂ F ∂ y = 2 x + 3 y 2

Podemos observar que ambas as derivadas são contínuas em R 2 . Logo, podemos garantir que x 3 + 2 x y + y 3 = 8 define implicitamente uma função diferencial!

Passo 2

Agora precisamos descobrir d y d x !

3 x 2 ⋅ d x d x + 2 y ⋅ d x d x + 2 x ⋅ d y d x + 3 y 2 ⋅ d y d x = 0

d y d x 2 x + 3 y 2 = - 3 x 2 - 2 y

d y d x = - 3 x 2 - 2 y 2 x + 3 y 2

Resposta

A derivada é igual a:

d y d x = - 3 x 2 - 2 y 2 x + 3 y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .b) z = x 2 + 3 y 2 , x = s e n ( t ) , y = c o s ( t )
17. Seja g dada por g x , y = x 2 + y 2 f u , v , onde u = 2 x e v = x + 2 y . Verifique que ∂ g ∂ x = 2 x f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v
21. Seja g t = f 3 t 2 ,t 3 ,e 2 t ; suponha ∂ f ∂ z 0 , 0,1 = 4 a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f . b) Calcule g ' 0 .
Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 , x = s e n ( 3 t ) , y = c o s ( 3 t )
23. Suponha que, para todo x , y ,f x , y ,x 2 + y 2 = 0 . Mostre que ∂ f ∂ x 1,1 , 2 = ∂ f ∂ y ( 1,1 , 2 )